Built with doc-gen4, running Lean4. Bubbles () indicate interactive fragments: hover for details, tap to reveal contents. Use Ctrl+โ†‘Ctrl+โ†“to navigate, Ctrl+๐Ÿ–ฑ๏ธto focus. On Mac, use Cmdinstead of Ctrl.
import Mathlib.Data.Set.Basic
import Mathlib.Data.Set.Lattice

import Bookshelf.Enderton.Set.Chapter_1
import Common.Logic.Basic
import Common.Set.Basic

/-! # Enderton.Chapter_2

Axioms and Operations
-/

namespace Enderton.Set.Chapter_2


/-- ### Exercise 3.1

Assume that `A` is the set of integers divisible by `4`. Similarly assume that
`B` and `C` are the sets of integers divisible by `9` and `10`, respectively.
What is in `A โˆฉ B โˆฉ C`?
-/
theorem 
exercise_3_1: โˆ€ {A B C : Set โ„ค}, A = {x | 4 โˆฃ x} โ†’ B = {x | 9 โˆฃ x} โ†’ C = {x | 10 โˆฃ x} โ†’ โˆ€ (x : โ„ค), x โˆˆ A โˆฉ B โˆฉ C โ†’ 4 โˆฃ x โˆง 9 โˆฃ x โˆง 10 โˆฃ x
exercise_3_1
{A B C :
Set: Type ?u.5 โ†’ Type ?u.5
Set
โ„ค: Type
โ„ค
} (
hA: A = {x | 4 โˆฃ x}
hA
: A = {
x: ?m.16
x
|
Dvd.dvd: {ฮฑ : Type ?u.18} โ†’ [self : Dvd ฮฑ] โ†’ ฮฑ โ†’ ฮฑ โ†’ Prop
Dvd.dvd
4: ?m.22
4
x: ?m.16
x
}) (
hB: B = {x | 9 โˆฃ x}
hB
: B = {
x: ?m.94
x
|
Dvd.dvd: {ฮฑ : Type ?u.96} โ†’ [self : Dvd ฮฑ] โ†’ ฮฑ โ†’ ฮฑ โ†’ Prop
Dvd.dvd
9: ?m.100
9
x: ?m.94
x
}) (
hC: C = {x | 10 โˆฃ x}
hC
: C = {
x: ?m.163
x
|
Dvd.dvd: {ฮฑ : Type ?u.165} โ†’ [self : Dvd ฮฑ] โ†’ ฮฑ โ†’ ฮฑ โ†’ Prop
Dvd.dvd
10: ?m.169
10
x: ?m.163
x
}) : โˆ€
x: ?m.228
x
โˆˆ (A โˆฉ B โˆฉ C), (
4: ?m.288
4
โˆฃ
x: ?m.228
x
) โˆง (
9: ?m.300
9
โˆฃ
x: ?m.228
x
) โˆง (
10: ?m.312
10
โˆฃ
x: ?m.228
x
) :=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}


โˆ€ (x : โ„ค), x โˆˆ A โˆฉ B โˆฉ C โ†’ 4 โˆฃ x โˆง 9 โˆฃ x โˆง 10 โˆฃ x
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆฉ C


A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}


โˆ€ (x : โ„ค), x โˆˆ A โˆฉ B โˆฉ C โ†’ 4 โˆฃ x โˆง 9 โˆฃ x โˆง 10 โˆฃ x
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆฉ C


A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C


A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C


A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C


A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}


โˆ€ (x : โ„ค), x โˆˆ A โˆฉ B โˆฉ C โ†’ 4 โˆฃ x โˆง 9 โˆฃ x โˆง 10 โˆฃ x
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ A

hb: x โˆˆ B

hc: x โˆˆ C


A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}


โˆ€ (x : โ„ค), x โˆˆ A โˆฉ B โˆฉ C โ†’ 4 โˆฃ x โˆง 9 โˆฃ x โˆง 10 โˆฃ x
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ A

hb: x โˆˆ B

hc: x โˆˆ C


refine_1
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ A

hb: x โˆˆ B

hc: x โˆˆ C


refine_2
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ A

hb: x โˆˆ B

hc: x โˆˆ C


refine_3
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}


โˆ€ (x : โ„ค), x โˆˆ A โˆฉ B โˆฉ C โ†’ 4 โˆฃ x โˆง 9 โˆฃ x โˆง 10 โˆฃ x
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ A

hb: x โˆˆ B

hc: x โˆˆ C


refine_1
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ A

hb: x โˆˆ B

hc: x โˆˆ C


refine_1
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ A

hb: x โˆˆ B

hc: x โˆˆ C


refine_2
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ A

hb: x โˆˆ B

hc: x โˆˆ C


refine_3
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ A

hb: x โˆˆ B

hc: x โˆˆ C


refine_1
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ {x | 4 โˆฃ x}

hb: x โˆˆ B

hc: x โˆˆ C


refine_1
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ {x | 4 โˆฃ x}

hb: x โˆˆ B

hc: x โˆˆ C


refine_1
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ {x | 4 โˆฃ x}

hb: x โˆˆ B

hc: x โˆˆ C


refine_1
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ A

hb: x โˆˆ B

hc: x โˆˆ C


refine_1

Goals accomplished! ๐Ÿ™
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}


โˆ€ (x : โ„ค), x โˆˆ A โˆฉ B โˆฉ C โ†’ 4 โˆฃ x โˆง 9 โˆฃ x โˆง 10 โˆฃ x
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ A

hb: x โˆˆ B

hc: x โˆˆ C


refine_2
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ A

hb: x โˆˆ B

hc: x โˆˆ C


refine_2
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ A

hb: x โˆˆ B

hc: x โˆˆ C


refine_3
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ A

hb: x โˆˆ B

hc: x โˆˆ C


refine_2
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ A

hb: x โˆˆ {x | 9 โˆฃ x}

hc: x โˆˆ C


refine_2
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ A

hb: x โˆˆ {x | 9 โˆฃ x}

hc: x โˆˆ C


refine_2
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ A

hb: x โˆˆ {x | 9 โˆฃ x}

hc: x โˆˆ C


refine_2
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ A

hb: x โˆˆ B

hc: x โˆˆ C


refine_2

Goals accomplished! ๐Ÿ™
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}


โˆ€ (x : โ„ค), x โˆˆ A โˆฉ B โˆฉ C โ†’ 4 โˆฃ x โˆง 9 โˆฃ x โˆง 10 โˆฃ x
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ A

hb: x โˆˆ B

hc: x โˆˆ C


refine_3
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ A

hb: x โˆˆ B

hc: x โˆˆ C


refine_3
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ A

hb: x โˆˆ B

hc: x โˆˆ C


refine_3
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ A

hb: x โˆˆ B

hc: x โˆˆ {x | 10 โˆฃ x}


refine_3
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ A

hb: x โˆˆ B

hc: x โˆˆ {x | 10 โˆฃ x}


refine_3
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ A

hb: x โˆˆ B

hc: x โˆˆ {x | 10 โˆฃ x}


refine_3
A, B, C: Set โ„ค

hA: A = {x | 4 โˆฃ x}

hB: B = {x | 9 โˆฃ x}

hC: C = {x | 10 โˆฃ x}

x: โ„ค

h: x โˆˆ A โˆฉ B โˆง x โˆˆ C

ha: x โˆˆ A

hb: x โˆˆ B

hc: x โˆˆ C


refine_3

Goals accomplished! ๐Ÿ™
/-- ### Exercise 3.2 Give an example of sets `A` and `B` for which `โ‹ƒ A = โ‹ƒ B` but `A โ‰  B`. -/ theorem
exercise_3_2: โˆ€ {A B : Set (Set โ„•)}, A = {{1}, {2}} โ†’ B = {{1, 2}} โ†’ โ‹ƒโ‚€ A = โ‹ƒโ‚€ B โˆง A โ‰  B
exercise_3_2
{A B :
Set: Type ?u.626 โ†’ Type ?u.626
Set
(
Set: Type ?u.623 โ†’ Type ?u.623
Set
โ„•: Type
โ„•
)} (
hA: A = {{1}, {2}}
hA
: A = {{
1: ?m.651
1
}, {
2: ?m.693
2
}}) (
hB: B = {{1, 2}}
hB
: B = {{
1: ?m.848
1
,
2: ?m.870
2
}}) :
Set.sUnion: {ฮฑ : Type ?u.977} โ†’ Set (Set ฮฑ) โ†’ Set ฮฑ
Set.sUnion
A =
Set.sUnion: {ฮฑ : Type ?u.983} โ†’ Set (Set ฮฑ) โ†’ Set ฮฑ
Set.sUnion
B โˆง A โ‰  B :=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}


A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}


left
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}


A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}


left
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}


left
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}


left
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}


left
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•


left.h
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}


left
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•


left.h
(โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t) โ†” โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}


left
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•


left.h.mp
(โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t) โ†’ โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•


left.h.mpr
(โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง x โˆˆ t) โ†’ โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}


left
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•


left.h.mp
(โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t) โ†’ โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•


left.h.mp
(โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t) โ†’ โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•


left.h.mpr
(โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง x โˆˆ t) โ†’ โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ A

hx: x โˆˆ t


left.h.mp
โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•


left.h.mp
(โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t) โ†’ โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ A

hx: x โˆˆ t


left.h.mp
โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ t


left.h.mp
โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ t


left.h.mp
โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ t


left.h.mp
โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•


left.h.mp
(โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t) โ†’ โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ t


left.h.mp
โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง x โˆˆ t

Goals accomplished! ๐Ÿ™
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ t


{1, 2} โˆˆ B
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ t


{1, 2} โˆˆ B
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ t


{1, 2} โˆˆ {{1, 2}}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ t


{1, 2} โˆˆ {{1, 2}}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ t


{1, 2} โˆˆ {{1, 2}}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ t


{1, 2} โˆˆ B

Goals accomplished! ๐Ÿ™
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ t


left.h.mp
x โˆˆ {1, 2}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•


left.h.mp
(โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t) โ†’ โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ t


left.h.mp.left
t = {1} โ†’ x โˆˆ {1, 2}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ t


left.h.mp.right
t โˆˆ {{2}} โ†’ x โˆˆ {1, 2}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ t


left.h.mp
x โˆˆ {1, 2}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ t


left.h.mp.left
t = {1} โ†’ x โˆˆ {1, 2}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ t


left.h.mp.right
t โˆˆ {{2}} โ†’ x โˆˆ {1, 2}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ t


left.h.mp
x โˆˆ {1, 2}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ t


left.h.mp.right
t โˆˆ {{2}} โ†’ x โˆˆ {1, 2}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ t


left.h.mp.left
t = {1} โ†’ x โˆˆ {1, 2}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ t

ht': t โˆˆ {{2}}


left.h.mp.right
x โˆˆ {1, 2}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ t


left.h.mp.left
t = {1} โ†’ x โˆˆ {1, 2}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ t

ht': t = {1}


left.h.mp.left
x โˆˆ {1, 2}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ {2}

ht': t โˆˆ {{2}}


left.h.mp.right
x โˆˆ {1, 2}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ {2}

ht': t โˆˆ {{2}}


left.h.mp.right
x โˆˆ {1, 2}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ {1}

ht': t = {1}


left.h.mp.left
x โˆˆ {1, 2}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ t


left.h.mp.left
t = {1} โ†’ x โˆˆ {1, 2}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ {2}

ht': t โˆˆ {{2}}


left.h.mp.right
x โˆˆ {1, 2}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ {2}

ht': t โˆˆ {{2}}


left.h.mp.right
2 โˆˆ {1, 2}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ {1}

ht': t = {1}


left.h.mp.left
1 โˆˆ {1, 2}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1}, {2}}

hx: x โˆˆ t


left.h.mp.left
t = {1} โ†’ x โˆˆ {1, 2}

Goals accomplished! ๐Ÿ™
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}


left
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•


left.h.mpr
(โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง x โˆˆ t) โ†’ โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•


left.h.mpr
(โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง x โˆˆ t) โ†’ โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ B

hx: x โˆˆ t


left.h.mpr
โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•


left.h.mpr
(โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง x โˆˆ t) โ†’ โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ B

hx: x โˆˆ t


left.h.mpr
โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ t


left.h.mpr
โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ t


left.h.mpr
โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ t


left.h.mpr
โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•


left.h.mpr
(โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง x โˆˆ t) โ†’ โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ t


left.h.mpr
โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}


left.h.mpr
โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}


left.h.mpr
โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}


left.h.mpr
โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•


left.h.mpr
(โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง x โˆˆ t) โ†’ โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}


left.h.mpr.left
x = 1 โ†’ โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}


left.h.mpr.right
x โˆˆ {2} โ†’ โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•


left.h.mpr
(โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง x โˆˆ t) โ†’ โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}


left.h.mpr.left
x = 1 โ†’ โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}


left.h.mpr.left
x = 1 โ†’ โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}


left.h.mpr.right
x โˆˆ {2} โ†’ โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x = 1


left.h.mpr.left
โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}


left.h.mpr.left
x = 1 โ†’ โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x = 1


left.h.mpr.left
โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t

Goals accomplished! ๐Ÿ™
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x = 1


{1} โˆˆ A
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x = 1


{1} โˆˆ A
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x = 1


{1} โˆˆ {{1}, {2}}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x = 1


{1} โˆˆ {{1}, {2}}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x = 1


{1} โˆˆ {{1}, {2}}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x = 1


{1} โˆˆ A

Goals accomplished! ๐Ÿ™
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x = 1


left.h.mpr.left
โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t

Goals accomplished! ๐Ÿ™
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x = 1


x โˆˆ {1}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x = 1


x โˆˆ {1}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x = 1


1 โˆˆ {1}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x = 1


1 โˆˆ {1}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x = 1


1 โˆˆ {1}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x = 1


x โˆˆ {1}

Goals accomplished! ๐Ÿ™

Goals accomplished! ๐Ÿ™
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•


left.h.mpr
(โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง x โˆˆ t) โ†’ โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}


left.h.mpr.right
x โˆˆ {2} โ†’ โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}


left.h.mpr.right
x โˆˆ {2} โ†’ โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x โˆˆ {2}


left.h.mpr.right
โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}


left.h.mpr.right
x โˆˆ {2} โ†’ โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x โˆˆ {2}


left.h.mpr.right
โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t

Goals accomplished! ๐Ÿ™
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x โˆˆ {2}


{2} โˆˆ A
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x โˆˆ {2}


{2} โˆˆ A
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x โˆˆ {2}


{2} โˆˆ {{1}, {2}}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x โˆˆ {2}


{2} โˆˆ {{1}, {2}}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x โˆˆ {2}


{2} โˆˆ {{1}, {2}}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x โˆˆ {2}


{2} โˆˆ A

Goals accomplished! ๐Ÿ™
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x โˆˆ {2}


left.h.mpr.right
โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t

Goals accomplished! ๐Ÿ™
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x โˆˆ {2}


x โˆˆ {2}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x โˆˆ {2}


x โˆˆ {2}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x โˆˆ {2}


2 โˆˆ {2}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x โˆˆ {2}


2 โˆˆ {2}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x โˆˆ {2}


2 โˆˆ {2}
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

x: โ„•

t: Set โ„•

ht: t โˆˆ {{1, 2}}

hx: x โˆˆ {1, 2}

hx': x โˆˆ {2}


x โˆˆ {2}

Goals accomplished! ๐Ÿ™

Goals accomplished! ๐Ÿ™
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}


A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

h: A = B


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

h: A = B


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

h: {{1}, {2}} = B


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

h: A = B


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

h: {{1}, {2}} = {{1, 2}}


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

h: A = B


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

h: โˆ€ (x : Set โ„•), x โˆˆ {{1}, {2}} โ†” x โˆˆ {{1, 2}}


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

h: โˆ€ (x : Set โ„•), x โˆˆ {{1}, {2}} โ†” x โˆˆ {{1, 2}}


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

h: โˆ€ (x : Set โ„•), x โˆˆ {{1}, {2}} โ†” x โˆˆ {{1, 2}}


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

h: โˆ€ (x : Set โ„•), x โˆˆ {{1}, {2}} โ†” x โˆˆ {{1, 2}}

hโ‚: {1, 2} โˆˆ {{1}, {2}} โ†” {1, 2} โˆˆ {{1, 2}}


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

h: โˆ€ (x : Set โ„•), x โˆˆ {{1}, {2}} โ†” x โˆˆ {{1, 2}}

hโ‚: {1, 2} = {1}


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

h: โˆ€ (x : Set โ„•), x โˆˆ {{1}, {2}} โ†” x โˆˆ {{1, 2}}

hโ‚: {1, 2} = {1}


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

h: โˆ€ (x : Set โ„•), x โˆˆ {{1}, {2}} โ†” x โˆˆ {{1, 2}}

hโ‚: โˆ€ (x : โ„•), x โˆˆ {1, 2} โ†” x โˆˆ {1}


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

h: โˆ€ (x : Set โ„•), x โˆˆ {{1}, {2}} โ†” x โˆˆ {{1, 2}}

hโ‚: โˆ€ (x : โ„•), x โˆˆ {1, 2} โ†” x โˆˆ {1}


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

h: โˆ€ (x : Set โ„•), x โˆˆ {{1}, {2}} โ†” x โˆˆ {{1, 2}}

hโ‚: โˆ€ (x : โ„•), x โˆˆ {1, 2} โ†” x โˆˆ {1}


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}

h: โˆ€ (x : Set โ„•), x โˆˆ {{1}, {2}} โ†” x โˆˆ {{1, 2}}

hโ‚: โˆ€ (x : โ„•), x โˆˆ {1, 2} โ†” x โˆˆ {1}

hโ‚‚: 2 โˆˆ {1, 2} โ†” 2 โˆˆ {1}


right
A, B: Set (Set โ„•)

hA: A = {{1}, {2}}

hB: B = {{1, 2}}


right

Goals accomplished! ๐Ÿ™
/-- ### Exercise 3.3 Show that every member of a set `A` is a subset of `U A`. (This was stated as an example in this section.) -/ theorem
exercise_3_3: โˆ€ {ฮฑ : Type u_1} {A : Set (Set ฮฑ)} (x : Set ฮฑ), x โˆˆ A โ†’ x โІ โ‹ƒโ‚€ A
exercise_3_3
{
A: Set (Set ฮฑ)
A
:
Set: Type ?u.3473 โ†’ Type ?u.3473
Set
(
Set: Type ?u.3474 โ†’ Type ?u.3474
Set
ฮฑ: ?m.3470
ฮฑ
)} : โˆ€
x: ?m.3478
x
โˆˆ
A: Set (Set ฮฑ)
A
,
x: ?m.3478
x
โІ
Set.sUnion: {ฮฑ : Type ?u.3520} โ†’ Set (Set ฮฑ) โ†’ Set ฮฑ
Set.sUnion
A: Set (Set ฮฑ)
A
:=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑ)


โˆ€ (x : Set ฮฑ), x โˆˆ A โ†’ x โІ โ‹ƒโ‚€ A
ฮฑ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑ)

x: Set ฮฑ

hx: x โˆˆ A


ฮฑ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑ)


โˆ€ (x : Set ฮฑ), x โˆˆ A โ†’ x โІ โ‹ƒโ‚€ A
ฮฑ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑ)

x: Set ฮฑ

hx: x โˆˆ A


โˆ€ (y : ฮฑ), y โˆˆ x โ†’ y โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง a โˆˆ t}
ฮฑ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑ)


โˆ€ (x : Set ฮฑ), x โˆˆ A โ†’ x โІ โ‹ƒโ‚€ A
ฮฑ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑ)

x: Set ฮฑ

hx: x โˆˆ A

y: ฮฑ

hy: y โˆˆ x


y โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง a โˆˆ t}
ฮฑ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑ)


โˆ€ (x : Set ฮฑ), x โˆˆ A โ†’ x โІ โ‹ƒโ‚€ A
ฮฑ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑ)

x: Set ฮฑ

hx: x โˆˆ A

y: ฮฑ

hy: y โˆˆ x


y โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง a โˆˆ t}
ฮฑ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑ)

x: Set ฮฑ

hx: x โˆˆ A

y: ฮฑ

hy: y โˆˆ x


โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง y โˆˆ t
ฮฑ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑ)

x: Set ฮฑ

hx: x โˆˆ A

y: ฮฑ

hy: y โˆˆ x


โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง y โˆˆ t
ฮฑ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑ)


โˆ€ (x : Set ฮฑ), x โˆˆ A โ†’ x โІ โ‹ƒโ‚€ A

Goals accomplished! ๐Ÿ™
/-- ### Exercise 3.4 Show that if `A โІ B`, then `โ‹ƒ A โІ โ‹ƒ B`. -/ theorem
exercise_3_4: โˆ€ {ฮฑ : Type u_1} {A B : Set (Set ฮฑ)}, A โІ B โ†’ โ‹ƒโ‚€ A โІ โ‹ƒโ‚€ B
exercise_3_4
(
h: A โІ B
h
:
A: ?m.3754
A
โІ
B: ?m.3766
B
) : โ‹ƒโ‚€
A: ?m.3754
A
โІ โ‹ƒโ‚€
B: ?m.3766
B
:=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑโœ)

h: A โІ B


ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑโœ)

h: A โІ B


โˆ€ (x : ฮฑโœ), x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง a โˆˆ t} โ†’ x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง a โˆˆ t}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑโœ)

h: A โІ B


ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑโœ)

h: A โІ B

x: ฮฑโœ

hx: x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง a โˆˆ t}


x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง a โˆˆ t}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑโœ)

h: A โІ B


ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑโœ)

h: A โІ B

x: ฮฑโœ

hx: x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง a โˆˆ t}


x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง a โˆˆ t}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑโœ)

h: A โІ B

x: ฮฑโœ

hx: โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t


x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง a โˆˆ t}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑโœ)

h: A โІ B

x: ฮฑโœ

hx: โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t


x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง a โˆˆ t}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑโœ)

h: A โІ B

x: ฮฑโœ

hx: โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t


x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง a โˆˆ t}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑโœ)

h: A โІ B


ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑโœ)

h: A โІ B

x: ฮฑโœ

hx: โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t

t: Set ฮฑโœ

ht: t โˆˆ A

hxt: x โˆˆ t


x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง a โˆˆ t}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑโœ)

h: A โІ B


ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑโœ)

h: A โІ B

x: ฮฑโœ

hx: โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t

t: Set ฮฑโœ

ht: t โˆˆ A

hxt: x โˆˆ t


x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง a โˆˆ t}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑโœ)

h: A โІ B

x: ฮฑโœ

hx: โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t

t: Set ฮฑโœ

ht: t โˆˆ A

hxt: x โˆˆ t


โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง x โˆˆ t
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑโœ)

h: A โІ B

x: ฮฑโœ

hx: โˆƒ t, t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t

t: Set ฮฑโœ

ht: t โˆˆ A

hxt: x โˆˆ t


โˆƒ t, t โˆˆ B โˆง x โˆˆ t
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑโœ)

h: A โІ B



Goals accomplished! ๐Ÿ™
/-- ### Exercise 3.5 Assume that every member of `๐“` is a subset of `B`. Show that `โ‹ƒ ๐“ โІ B`. -/ theorem
exercise_3_5: โˆ€ {ฮฑ : Type u_1} {๐“ : Set (Set ฮฑ)} {B : Set ฮฑ}, (โˆ€ (x : Set ฮฑ), x โˆˆ ๐“ โ†’ x โІ B) โ†’ โ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ B
exercise_3_5
(
h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ ๐“ โ†’ x โІ B
h
: โˆ€
x: ?m.4343
x
โˆˆ
๐“: ?m.4290
๐“
,
x: ?m.4343
x
โІ
B: ?m.4339
B
) : โ‹ƒโ‚€
๐“: ?m.4290
๐“
โІ
B: ?m.4339
B
:=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑโœ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑโœ)

B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ ๐“ โ†’ x โІ B


ฮฑโœ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑโœ)

B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ ๐“ โ†’ x โІ B


โˆ€ (y : ฮฑโœ), y โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ ๐“ โˆง a โˆˆ t} โ†’ y โˆˆ B
ฮฑโœ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑโœ)

B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ ๐“ โ†’ x โІ B


ฮฑโœ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑโœ)

B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ ๐“ โ†’ x โІ B

y: ฮฑโœ

hy: y โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ ๐“ โˆง a โˆˆ t}


ฮฑโœ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑโœ)

B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ ๐“ โ†’ x โІ B


ฮฑโœ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑโœ)

B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ ๐“ โ†’ x โІ B

y: ฮฑโœ

hy: y โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ ๐“ โˆง a โˆˆ t}


ฮฑโœ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑโœ)

B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ ๐“ โ†’ x โІ B

y: ฮฑโœ

hy: โˆƒ t, t โˆˆ ๐“ โˆง y โˆˆ t


ฮฑโœ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑโœ)

B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ ๐“ โ†’ x โІ B

y: ฮฑโœ

hy: โˆƒ t, t โˆˆ ๐“ โˆง y โˆˆ t


ฮฑโœ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑโœ)

B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ ๐“ โ†’ x โІ B

y: ฮฑโœ

hy: โˆƒ t, t โˆˆ ๐“ โˆง y โˆˆ t


ฮฑโœ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑโœ)

B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ ๐“ โ†’ x โІ B


ฮฑโœ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑโœ)

B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ ๐“ โ†’ x โІ B

y: ฮฑโœ

hy: โˆƒ t, t โˆˆ ๐“ โˆง y โˆˆ t

t: Set ฮฑโœ

ht๐“: t โˆˆ ๐“

hyt: y โˆˆ t


ฮฑโœ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑโœ)

B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ ๐“ โ†’ x โІ B



Goals accomplished! ๐Ÿ™
/-- ### Exercise 3.6a Show that for any set `A`, `โ‹ƒ ๐“Ÿ A = A`. -/ theorem
exercise_3_6a: โˆ€ {ฮฑ : Type u_1} {A : Set ฮฑ}, โ‹ƒโ‚€ (๐’ซ A) = A
exercise_3_6a
: โ‹ƒโ‚€ (๐’ซ
A: ?m.4787
A
) =
A: ?m.4787
A
:=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ


ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ


{a | โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง a โˆˆ t} = A
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ


ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ


h
x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง a โˆˆ t} โ†” x โˆˆ A
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ


ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ


h.mp
x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง a โˆˆ t} โ†’ x โˆˆ A
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ


h.mpr
x โˆˆ A โ†’ x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง a โˆˆ t}
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ


ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ


h.mp
x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง a โˆˆ t} โ†’ x โˆˆ A
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ


h.mp
x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง a โˆˆ t} โ†’ x โˆˆ A
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ


h.mpr
x โˆˆ A โ†’ x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง a โˆˆ t}
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ

hx: x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง a โˆˆ t}


h.mp
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ


h.mp
x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง a โˆˆ t} โ†’ x โˆˆ A
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ

hx: x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง a โˆˆ t}


h.mp
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ

hx: โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง x โˆˆ t


h.mp
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ

hx: โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง x โˆˆ t


h.mp
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ

hx: โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง x โˆˆ t


h.mp
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ


h.mp
x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง a โˆˆ t} โ†’ x โˆˆ A
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ

hx: โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง x โˆˆ t

t: Set ฮฑโœ

htl: t โˆˆ {t | t โІ A}

htr: x โˆˆ t


h.mp
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ


h.mp
x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง a โˆˆ t} โ†’ x โˆˆ A
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ

hx: โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง x โˆˆ t

t: Set ฮฑโœ

htl: t โˆˆ {t | t โІ A}

htr: x โˆˆ t


h.mp
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ

hx: โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง x โˆˆ t

t: Set ฮฑโœ

htl: t โІ A

htr: x โˆˆ t


h.mp
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ

hx: โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง x โˆˆ t

t: Set ฮฑโœ

htl: t โІ A

htr: x โˆˆ t


h.mp
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ

hx: โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง x โˆˆ t

t: Set ฮฑโœ

htl: t โІ A

htr: x โˆˆ t


h.mp
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ


h.mp
x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง a โˆˆ t} โ†’ x โˆˆ A

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ


ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ


h.mpr
x โˆˆ A โ†’ x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง a โˆˆ t}
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ


h.mpr
x โˆˆ A โ†’ x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง a โˆˆ t}
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ

hx: x โˆˆ A


h.mpr
x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง a โˆˆ t}
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ


h.mpr
x โˆˆ A โ†’ x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง a โˆˆ t}
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ

hx: x โˆˆ A


h.mpr
x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง a โˆˆ t}
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ

hx: x โˆˆ A


h.mpr
โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง x โˆˆ t
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ

hx: x โˆˆ A


h.mpr
โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง x โˆˆ t
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ


h.mpr
x โˆˆ A โ†’ x โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง a โˆˆ t}
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ

hx: x โˆˆ A


h.mpr
โˆƒ t, t โˆˆ {t | t โІ A} โˆง x โˆˆ t

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ

hx: x โˆˆ A


A โˆˆ {t | t โІ A}
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ

hx: x โˆˆ A


A โˆˆ {t | t โІ A}
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set ฮฑโœ

x: ฮฑโœ

hx: x โˆˆ A



Goals accomplished! ๐Ÿ™

Goals accomplished! ๐Ÿ™
/-- ### Exercise 3.6b Show that `A โІ ๐“Ÿ โ‹ƒ A`. Under what conditions does equality hold? -/ theorem
exercise_3_6b: โˆ€ {ฮฑ : Type u_1} {A : Set (Set ฮฑ)}, A โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ A โˆง (A = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ A โ†” โˆƒ B, A = ๐’ซ B)
exercise_3_6b
:
A: ?m.5291
A
โІ ๐’ซ (โ‹ƒโ‚€
A: ?m.5291
A
) โˆง (
A: ?m.5291
A
= ๐’ซ (โ‹ƒโ‚€
A: ?m.5291
A
) โ†” โˆƒ
B: ?m.5332
B
,
A: ?m.5291
A
= ๐’ซ
B: ?m.5332
B
) :=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)


ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)


left
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)


right
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)


ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)


left
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)


left
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)


right
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)


left
โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ A โ†’ x โˆˆ {t | t โІ โ‹ƒโ‚€ A}
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)


left
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)

x: Set ฮฑโœ

hx: x โˆˆ A


left
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)


left
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)

x: Set ฮฑโœ

hx: x โˆˆ A


left
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)

x: Set ฮฑโœ

hx: x โˆˆ A


left
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)

x: Set ฮฑโœ

hx: x โˆˆ A


left
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)


left

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)


ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)


right
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)


right
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)


right.mp
A = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ A โ†’ โˆƒ B, A = ๐’ซ B
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)


right.mpr
(โˆƒ B, A = ๐’ซ B) โ†’ A = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ A
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)


right
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)


right.mp
A = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ A โ†’ โˆƒ B, A = ๐’ซ B
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)


right.mp
A = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ A โ†’ โˆƒ B, A = ๐’ซ B
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)


right.mpr
(โˆƒ B, A = ๐’ซ B) โ†’ A = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ A
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)

hA: A = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ A


right.mp
โˆƒ B, A = ๐’ซ B
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)


right.mp
A = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ A โ†’ โˆƒ B, A = ๐’ซ B

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)


right
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)


right.mpr
(โˆƒ B, A = ๐’ซ B) โ†’ A = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ A
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)


right.mpr
(โˆƒ B, A = ๐’ซ B) โ†’ A = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ A
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)

B: Set ฮฑโœ

hB: A = ๐’ซ B


right.mpr
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)


right.mpr
(โˆƒ B, A = ๐’ซ B) โ†’ A = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ A
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)

B: Set ฮฑโœ

hB: A = ๐’ซ B


ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)

B: Set ฮฑโœ

hB: A = ๐’ซ B


right.mpr
ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)

B: Set ฮฑโœ

hB: A = ๐’ซ B


ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)

B: Set ฮฑโœ

hB: A = ๐’ซ B


ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)

B: Set ฮฑโœ

hB: A = ๐’ซ B


ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)

B: Set ฮฑโœ

hB: A = ๐’ซ B


ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)

B: Set ฮฑโœ

hB: A = ๐’ซ B


ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)

B: Set ฮฑโœ

hB: A = ๐’ซ B


ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)

B: Set ฮฑโœ

hB: A = ๐’ซ B


ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)

B: Set ฮฑโœ

hB: A = ๐’ซ B


ฮฑโœ: Type u_1

A: Set (Set ฮฑโœ)


right.mpr
(โˆƒ B, A = ๐’ซ B) โ†’ A = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ A

Goals accomplished! ๐Ÿ™
/-- ### Exercise 3.7a Show that for any sets `A` and `B`, `๐“Ÿ A โˆฉ ๐“Ÿ B = ๐“Ÿ (A โˆฉ B)`. -/ theorem
exercise_3_7A: โˆ€ {ฮฑ : Type u_1} {A B : Set ฮฑ}, ๐’ซ A โˆฉ ๐’ซ B = ๐’ซ(A โˆฉ B)
exercise_3_7A
: ๐’ซ
A: ?m.5838
A
โˆฉ ๐’ซ
B: ?m.5856
B
= ๐’ซ (
A: ?m.5838
A
โˆฉ
B: ?m.5856
B
) :=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


left
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


right
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


left
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


left
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


right
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


left
{t | t โІ A} โˆฉ {t | t โІ B} โІ {t | t โІ A โˆฉ B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


left
ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โˆˆ {t | t โІ A} โˆฉ {t | t โІ B}


left
x โˆˆ {t | t โІ A โˆฉ B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


left
ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โІ A โˆง x โІ B


left
x โˆˆ {t | t โІ A โˆฉ B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


left
ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โІ A โˆง x โІ B


left
x โˆˆ {t | t โІ A โˆฉ B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โІ A โˆง x โІ B


left
ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โІ A โˆง x โІ B


left
x โˆˆ {t | t โІ A โˆฉ B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โІ A โˆง x โІ B


left
ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โІ A โˆง x โІ B


left
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


right
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


right
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


right
{t | t โІ A โˆฉ B} โІ {t | t โІ A} โˆฉ {t | t โІ B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


right
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


right
โˆ€ (a : Set ฮฑโœ), a โІ A โ†’ a โІ B โ†’ a โІ A
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


right
ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hA: x โІ A

aโœ: x โІ B


right
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


right

Goals accomplished! ๐Ÿ™
-- theorem false_of_false_iff_true : (false โ†” true) โ†’ false := by simp /-- ### Exercise 3.7b (i) Show that `๐“Ÿ A โˆช ๐“Ÿ B โІ ๐“Ÿ (A โˆช B)`. -/ theorem
exercise_3_7b_i: โˆ€ {ฮฑ : Type u_1} {A B : Set ฮฑ}, ๐’ซ A โˆช ๐’ซ B โІ ๐’ซ(A โˆช B)
exercise_3_7b_i
: ๐’ซ
A: ?m.9908
A
โˆช ๐’ซ
B: ?m.9938
B
โІ ๐’ซ (
A: ?m.9908
A
โˆช
B: ?m.9938
B
) :=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


{t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โІ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B}


x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โІ A โˆจ x โІ B


x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โІ A โˆจ x โІ B


left
x โІ A โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โІ A โˆจ x โІ B


right
x โІ B โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โІ A โˆจ x โІ B


left
x โІ A โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โІ A โˆจ x โІ B


left
x โІ A โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โІ A โˆจ x โІ B


right
x โІ B โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โІ A โˆจ x โІ B

hA: x โІ A


left
x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โІ A โˆจ x โІ B


left
x โІ A โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โІ A โˆจ x โІ B

hA: x โІ A


left
x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โІ A โˆจ x โІ B

hA: x โІ A


left
ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โІ A โˆจ x โІ B

hA: x โІ A


left
ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โІ A โˆจ x โІ B


left
x โІ A โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โІ A โˆจ x โІ B


right
x โІ B โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โІ A โˆจ x โІ B


right
x โІ B โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โІ A โˆจ x โІ B

hB: x โІ B


right
x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โІ A โˆจ x โІ B


right
x โІ B โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โІ A โˆจ x โІ B

hB: x โІ B


right
x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โІ A โˆจ x โІ B

hB: x โІ B


right
ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โІ A โˆจ x โІ B

hB: x โІ B


right
ฮฑโœ: Type u_1

A, B, x: Set ฮฑโœ

hx: x โІ A โˆจ x โІ B


right
x โІ B โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

Goals accomplished! ๐Ÿ™
/-- ### Exercise 3.7b (ii) Under what conditions does `๐“Ÿ A โˆช ๐“Ÿ B = ๐“Ÿ (A โˆช B)`.? -/ theorem
exercise_3_7b_ii: โˆ€ {ฮฑ : Type u_1} {A B : Set ฮฑ}, ๐’ซ A โˆช ๐’ซ B = ๐’ซ(A โˆช B) โ†” A โІ B โˆจ B โІ A
exercise_3_7b_ii
: ๐’ซ
A: ?m.10821
A
โˆช ๐’ซ
B: ?m.10839
B
= ๐’ซ (
A: ?m.10821
A
โˆช
B: ?m.10839
B
) โ†”
A: ?m.10821
A
โІ
B: ?m.10839
B
โˆจ
B: ?m.10839
B
โІ
A: ?m.10821
A
:=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


{t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B} โ†” A โІ B โˆจ B โІ A
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


mp
{t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B} โ†’ A โІ B โˆจ B โІ A
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


mpr
A โІ B โˆจ B โІ A โ†’ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


mp
{t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B} โ†’ A โІ B โˆจ B โІ A
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


mp
{t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B} โ†’ A โІ B โˆจ B โІ A
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


mpr
A โІ B โˆจ B โІ A โ†’ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B}


mp
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


mp
{t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B} โ†’ A โІ B โˆจ B โІ A
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌ(A โІ B โˆจ B โІ A)


mp
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


mp
{t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B} โ†’ A โІ B โˆจ B โІ A
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌ(A โІ B โˆจ B โІ A)


mp
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A


mp
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A


mp
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A


mp
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


mp
{t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B} โ†’ A โІ B โˆจ B โІ A
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A

a: ฮฑโœ

hA: a โˆˆ A โˆง ยฌa โˆˆ B


mp
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


mp
{t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B} โ†’ A โІ B โˆจ B โІ A
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A

a: ฮฑโœ

hA: a โˆˆ A โˆง ยฌa โˆˆ B

b: ฮฑโœ

hB: b โˆˆ B โˆง ยฌb โˆˆ A


mp
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


mp
{t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B} โ†’ A โІ B โˆจ B โІ A
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A

a: ฮฑโœ

hA: a โˆˆ A โˆง ยฌa โˆˆ B

b: ฮฑโœ

hB: b โˆˆ B โˆง ยฌb โˆˆ A


mp
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A

a: ฮฑโœ

hA: a โˆˆ A โˆง ยฌa โˆˆ B

b: ฮฑโœ

hB: b โˆˆ B โˆง ยฌb โˆˆ A


mp
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A

a: ฮฑโœ

hA: a โˆˆ A โˆง ยฌa โˆˆ B

b: ฮฑโœ

hB: b โˆˆ B โˆง ยฌb โˆˆ A


mp
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A

a: ฮฑโœ

hA: a โˆˆ A โˆง ยฌa โˆˆ B

b: ฮฑโœ

hB: b โˆˆ B โˆง ยฌb โˆˆ A


mp
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


mp
{t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B} โ†’ A โІ B โˆจ B โІ A
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A

a: ฮฑโœ

hA: a โˆˆ A โˆง ยฌa โˆˆ B

b: ฮฑโœ

hB: b โˆˆ B โˆง ยฌb โˆˆ A

hz: {a, b} โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” {a, b} โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}


mp
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


mp
{t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B} โ†’ A โІ B โˆจ B โІ A
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A

a: ฮฑโœ

hA: a โˆˆ A โˆง ยฌa โˆˆ B

b: ฮฑโœ

hB: b โˆˆ B โˆง ยฌb โˆˆ A

hz: {a, b} โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” {a, b} โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}


mp
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A

a: ฮฑโœ

hA: a โˆˆ A โˆง ยฌa โˆˆ B

b: ฮฑโœ

hB: b โˆˆ B โˆง ยฌb โˆˆ A

hz: {a, b} โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” {a, b} โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

this: ยฌ({a, b} โІ A โˆจ {a, b} โІ B)



Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A

a: ฮฑโœ

hA: a โˆˆ A โˆง ยฌa โˆˆ B

b: ฮฑโœ

hB: b โˆˆ B โˆง ยฌb โˆˆ A

hz: {a, b} โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” {a, b} โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

this: ยฌ({a, b} โІ A โˆจ {a, b} โІ B)


ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A

a: ฮฑโœ

hA: a โˆˆ A โˆง ยฌa โˆˆ B

b: ฮฑโœ

hB: b โˆˆ B โˆง ยฌb โˆˆ A

hz: {a, b} โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” {a, b} โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

this: ยฌ({a, b} โІ A โˆจ {a, b} โІ B)


ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A

a: ฮฑโœ

hA: a โˆˆ A โˆง ยฌa โˆˆ B

b: ฮฑโœ

hB: b โˆˆ B โˆง ยฌb โˆˆ A

hz: {a, b} โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” {a, b} โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

this: ยฌ({a, b} โІ A โˆจ {a, b} โІ B)


ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A

a: ฮฑโœ

hA: a โˆˆ A โˆง ยฌa โˆˆ B

b: ฮฑโœ

hB: b โˆˆ B โˆง ยฌb โˆˆ A

hz: {a, b} โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” {a, b} โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

this: ยฌ({a, b} โІ A โˆจ {a, b} โІ B)


ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A

a: ฮฑโœ

hA: a โˆˆ A โˆง ยฌa โˆˆ B

b: ฮฑโœ

hB: b โˆˆ B โˆง ยฌb โˆˆ A

hz: {a, b} โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” {a, b} โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

this: ยฌ({a, b} โІ A โˆจ {a, b} โІ B)



Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A

a: ฮฑโœ

hA: a โˆˆ A โˆง ยฌa โˆˆ B

b: ฮฑโœ

hB: b โˆˆ B โˆง ยฌb โˆˆ A

hz: {a, b} โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” {a, b} โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

this: ยฌ({a, b} โІ A โˆจ {a, b} โІ B)


ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A

a: ฮฑโœ

hA: a โˆˆ A โˆง ยฌa โˆˆ B

b: ฮฑโœ

hB: b โˆˆ B โˆง ยฌb โˆˆ A

hz: {a, b} โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” {a, b} โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

this: ยฌ({a, b} โІ A โˆจ {a, b} โІ B)

hzโ‚: a โˆˆ A โˆช B



Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A

a: ฮฑโœ

hA: a โˆˆ A โˆง ยฌa โˆˆ B

b: ฮฑโœ

hB: b โˆˆ B โˆง ยฌb โˆˆ A

hz: {a, b} โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” {a, b} โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

this: ยฌ({a, b} โІ A โˆจ {a, b} โІ B)

hzโ‚: a โˆˆ A โˆช B


ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A

a: ฮฑโœ

hA: a โˆˆ A โˆง ยฌa โˆˆ B

b: ฮฑโœ

hB: b โˆˆ B โˆง ยฌb โˆˆ A

hz: {a, b} โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” {a, b} โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

this: ยฌ({a, b} โІ A โˆจ {a, b} โІ B)

hzโ‚: a โˆˆ A โˆช B


ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A

a: ฮฑโœ

hA: a โˆˆ A โˆง ยฌa โˆˆ B

b: ฮฑโœ

hB: b โˆˆ B โˆง ยฌb โˆˆ A

hz: {a, b} โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” {a, b} โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

this: ยฌ({a, b} โІ A โˆจ {a, b} โІ B)

hzโ‚: a โˆˆ A โˆช B


ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A

a: ฮฑโœ

hA: a โˆˆ A โˆง ยฌa โˆˆ B

b: ฮฑโœ

hB: b โˆˆ B โˆง ยฌb โˆˆ A

hz: {a, b} โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” {a, b} โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

this: ยฌ({a, b} โІ A โˆจ {a, b} โІ B)

hzโ‚: a โˆˆ A โˆช B


ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A

a: ฮฑโœ

hA: a โˆˆ A โˆง ยฌa โˆˆ B

b: ฮฑโœ

hB: b โˆˆ B โˆง ยฌb โˆˆ A

hz: {a, b} โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” {a, b} โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

this: ยฌ({a, b} โІ A โˆจ {a, b} โІ B)

hzโ‚: a โˆˆ A โˆช B



Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A

a: ฮฑโœ

hA: a โˆˆ A โˆง ยฌa โˆˆ B

b: ฮฑโœ

hB: b โˆˆ B โˆง ยฌb โˆˆ A

hz: {a, b} โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” {a, b} โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

this: ยฌ({a, b} โІ A โˆจ {a, b} โІ B)



Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


mp
{t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B} โ†’ A โІ B โˆจ B โІ A
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A

a: ฮฑโœ

hA: a โˆˆ A โˆง ยฌa โˆˆ B

b: ฮฑโœ

hB: b โˆˆ B โˆง ยฌb โˆˆ A

hz: {a, b} โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” {a, b} โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

hAB: {a, b} โІ A โˆจ {a, b} โІ B


mp
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


mp
{t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B} โ†’ A โІ B โˆจ B โІ A
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A

a: ฮฑโœ

hA: a โˆˆ A โˆง ยฌa โˆˆ B

b: ฮฑโœ

hB: b โˆˆ B โˆง ยฌb โˆˆ A

hz: {a, b} โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” {a, b} โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

hAB: {a, b} โІ A โˆจ {a, b} โІ B


mp

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑโœ), x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

nh: ยฌA โІ B โˆง ยฌB โІ A

a: ฮฑโœ

hA: a โˆˆ A โˆง ยฌa โˆˆ B

b: ฮฑโœ

hB: b โˆˆ B โˆง ยฌb โˆˆ A

hz: {a, b} โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” {a, b} โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

hAB: {a, b} โІ A โˆจ {a, b} โІ B


mp

Goals accomplished! ๐Ÿ™

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


mpr
A โІ B โˆจ B โІ A โ†’ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


mpr
A โІ B โˆจ B โІ A โ†’ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A


mpr
{t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


mpr
A โІ B โˆจ B โІ A โ†’ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ


mpr.h
x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


mpr
A โІ B โˆจ B โІ A โ†’ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ


mpr.h.left
A โІ B โ†’ (x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B})
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ


mpr.h.right
B โІ A โ†’ (x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B})
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


mpr
A โІ B โˆจ B โІ A โ†’ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ


mpr.h.left
A โІ B โ†’ (x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B})
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ


mpr.h.left
A โІ B โ†’ (x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B})
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ


mpr.h.right
B โІ A โ†’ (x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B})
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hA: A โІ B


mpr.h.left
x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ


mpr.h.left
A โІ B โ†’ (x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B})
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hA: A โІ B


mpr.h.left.mp
x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hA: A โІ B


mpr.h.left.mpr
x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B} โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ


mpr.h.left
A โІ B โ†’ (x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B})
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hA: A โІ B


mpr.h.left.mp
x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hA: A โІ B


mpr.h.left.mp
x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hA: A โІ B


mpr.h.left.mpr
x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B} โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hA: A โІ B

hx: x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B}


mpr.h.left.mp
x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hA: A โІ B


mpr.h.left.mp
x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ


mpr.h.left
A โІ B โ†’ (x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B})
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hA: A โІ B


mpr.h.left.mpr
x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B} โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hA: A โІ B


mpr.h.left.mpr
x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B} โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hA: A โІ B

hx: x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}


mpr.h.left.mpr
x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hA: A โІ B


mpr.h.left.mpr
x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B} โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hA: A โІ B

hx: x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}


mpr.h.left.mpr
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hA: A โІ B


mpr.h.left.mpr
x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B} โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B}

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ


mpr
A โІ B โˆจ B โІ A โ†’ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} = {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ


mpr.h.right
B โІ A โ†’ (x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B})
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ


mpr.h.right
B โІ A โ†’ (x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B})
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hB: B โІ A


mpr.h.right
x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ


mpr.h.right
B โІ A โ†’ (x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B})
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hB: B โІ A


mpr.h.right.mp
x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hB: B โІ A


mpr.h.right.mpr
x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B} โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ


mpr.h.right
B โІ A โ†’ (x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B})
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hB: B โІ A


mpr.h.right.mp
x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hB: B โІ A


mpr.h.right.mp
x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hB: B โІ A


mpr.h.right.mpr
x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B} โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hB: B โІ A

hx: x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B}


mpr.h.right.mp
x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hB: B โІ A


mpr.h.right.mp
x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ


mpr.h.right
B โІ A โ†’ (x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B} โ†” x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B})
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hB: B โІ A


mpr.h.right.mpr
x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B} โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hB: B โІ A


mpr.h.right.mpr
x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B} โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hB: B โІ A

hx: x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}


mpr.h.right.mpr
x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hB: B โІ A


mpr.h.right.mpr
x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B} โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B}
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hB: B โІ A

hx: x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B}


mpr.h.right.mpr
ฮฑโœ: Type u_1

A, B: Set ฮฑโœ

h: A โІ B โˆจ B โІ A

x: Set ฮฑโœ

hB: B โІ A


mpr.h.right.mpr
x โˆˆ {t | t โІ A โˆช B} โ†’ x โˆˆ {t | t โІ A} โˆช {t | t โІ B}

Goals accomplished! ๐Ÿ™
/-- ### Exercise 3.9 Give an example of sets `a` and `B` for which `a โˆˆ B` but `๐“Ÿ a โˆ‰ ๐“Ÿ B`. -/ theorem
exercise_3_9: โˆ€ {a : Set โ„•} {B : Set (Set โ„•)}, a = {1} โ†’ B = {{1}} โ†’ a โˆˆ B โˆง ยฌ๐’ซ a โˆˆ ๐’ซ B
exercise_3_9
(
ha: a = {1}
ha
:
a: ?m.12845
a
= {
1: unknown metavariable '?_uniq.12856'
1
}) (
hB: B = {{1}}
hB
:
B: ?m.12895
B
= {{
1: ?m.12963
1
}}) :
a: ?m.12845
a
โˆˆ
B: ?m.12895
B
โˆง ๐’ซ
a: ?m.12845
a
โˆ‰ ๐’ซ
B: ?m.12895
B
:=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}


left
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}


right
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}


left
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}


left
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}


right
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}


left
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}


left
{1} โˆˆ B
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}


left
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}


left
{1} โˆˆ {{1}}
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}


left
{1} โˆˆ {{1}}
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}


left

Goals accomplished! ๐Ÿ™
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}


right
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}


right
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

h: ๐’ซ a โˆˆ ๐’ซ B


right
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}


right
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

h: ๐’ซ a โˆˆ ๐’ซ B


right

Goals accomplished! ๐Ÿ™
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

h: ๐’ซ a โˆˆ ๐’ซ B


a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

h: ๐’ซ a โˆˆ ๐’ซ B


a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

h: ๐’ซ a โˆˆ ๐’ซ B


๐’ซ{1} = {โˆ…, {1}}
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

h: ๐’ซ a โˆˆ ๐’ซ B


๐’ซ{1} = {โˆ…, {1}}
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

h: ๐’ซ a โˆˆ ๐’ซ B



Goals accomplished! ๐Ÿ™
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}


right
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

h: ๐’ซ a โˆˆ ๐’ซ B

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}


right

Goals accomplished! ๐Ÿ™
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

h: ๐’ซ a โˆˆ ๐’ซ B

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}


๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

h: ๐’ซ a โˆˆ ๐’ซ B

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}


๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

h: ๐’ซ a โˆˆ ๐’ซ B

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}


๐’ซ{{1}} = {โˆ…, {{1}}}
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

h: ๐’ซ a โˆˆ ๐’ซ B

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}


๐’ซ{{1}} = {โˆ…, {{1}}}
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

h: ๐’ซ a โˆˆ ๐’ซ B

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}


๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

Goals accomplished! ๐Ÿ™
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}


right
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

h: ๐’ซ a โˆˆ ๐’ซ B

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}


right
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

h: {โˆ…, {1}} โˆˆ ๐’ซ B

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}


right
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

h: ๐’ซ a โˆˆ ๐’ซ B

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}


right
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

h: {โˆ…, {1}} โˆˆ {โˆ…, {{1}}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}


right
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

h: {โˆ…, {1}} โˆˆ {โˆ…, {{1}}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}


right
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

h: {โˆ…, {1}} โˆˆ {โˆ…, {{1}}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}


right
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}


right
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

h: {โˆ…, {1}} = โˆ… โˆจ โˆ… = {1}


right
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}


right
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

h: {โˆ…, {1}} = โˆ… โˆจ โˆ… = {1}


right.left
{โˆ…, {1}} = โˆ… โ†’ False
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

h: {โˆ…, {1}} = โˆ… โˆจ โˆ… = {1}


right.right
โˆ… = {1} โ†’ False
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}


right
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

h: {โˆ…, {1}} = โˆ… โˆจ โˆ… = {1}


right.left
{โˆ…, {1}} = โˆ… โ†’ False
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

h: {โˆ…, {1}} = โˆ… โˆจ โˆ… = {1}


right.left
{โˆ…, {1}} = โˆ… โ†’ False
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

h: {โˆ…, {1}} = โˆ… โˆจ โˆ… = {1}


right.right
โˆ… = {1} โ†’ False
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

hโœ: {โˆ…, {1}} = โˆ… โˆจ โˆ… = {1}

h: {โˆ…, {1}} = โˆ…


right.left
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

h: {โˆ…, {1}} = โˆ… โˆจ โˆ… = {1}


right.left
{โˆ…, {1}} = โˆ… โ†’ False
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

hโœ: {โˆ…, {1}} = โˆ… โˆจ โˆ… = {1}

h: {โˆ…, {1}} = โˆ…


right.left
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

hโœ: {โˆ…, {1}} = โˆ… โˆจ โˆ… = {1}

h: โˆ€ (x : Set โ„•), x โˆˆ {โˆ…, {1}} โ†” x โˆˆ โˆ…


right.left
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

hโœ: {โˆ…, {1}} = โˆ… โˆจ โˆ… = {1}

h: โˆ€ (x : Set โ„•), x โˆˆ {โˆ…, {1}} โ†” x โˆˆ โˆ…


right.left
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

hโœ: {โˆ…, {1}} = โˆ… โˆจ โˆ… = {1}

h: โˆ€ (x : Set โ„•), x โˆˆ {โˆ…, {1}} โ†” x โˆˆ โˆ…


right.left
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

h: {โˆ…, {1}} = โˆ… โˆจ โˆ… = {1}


right.left
{โˆ…, {1}} = โˆ… โ†’ False
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

hโœ: {โˆ…, {1}} = โˆ… โˆจ โˆ… = {1}

h: โˆ€ (x : Set โ„•), x โˆˆ {โˆ…, {1}} โ†” x โˆˆ โˆ…

this: โˆ… โˆˆ {โˆ…, {1}} โ†” โˆ… โˆˆ โˆ…


right.left
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

h: {โˆ…, {1}} = โˆ… โˆจ โˆ… = {1}


right.left
{โˆ…, {1}} = โˆ… โ†’ False

Goals accomplished! ๐Ÿ™
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}


right
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

h: {โˆ…, {1}} = โˆ… โˆจ โˆ… = {1}


right.right
โˆ… = {1} โ†’ False
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

h: {โˆ…, {1}} = โˆ… โˆจ โˆ… = {1}


right.right
โˆ… = {1} โ†’ False
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

hโœ: {โˆ…, {1}} = โˆ… โˆจ โˆ… = {1}

h: โˆ… = {1}


right.right
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

h: {โˆ…, {1}} = โˆ… โˆจ โˆ… = {1}


right.right
โˆ… = {1} โ†’ False
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

hโœ: {โˆ…, {1}} = โˆ… โˆจ โˆ… = {1}

h: โˆ… = {1}


right.right
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

hโœ: {โˆ…, {1}} = โˆ… โˆจ โˆ… = {1}

h: โˆ€ (x : โ„•), x โˆˆ โˆ… โ†” x โˆˆ {1}


right.right
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

hโœ: {โˆ…, {1}} = โˆ… โˆจ โˆ… = {1}

h: โˆ€ (x : โ„•), x โˆˆ โˆ… โ†” x โˆˆ {1}


right.right
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

hโœ: {โˆ…, {1}} = โˆ… โˆจ โˆ… = {1}

h: โˆ€ (x : โ„•), x โˆˆ โˆ… โ†” x โˆˆ {1}


right.right
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

h: {โˆ…, {1}} = โˆ… โˆจ โˆ… = {1}


right.right
โˆ… = {1} โ†’ False
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

hโœ: {โˆ…, {1}} = โˆ… โˆจ โˆ… = {1}

h: โˆ€ (x : โ„•), x โˆˆ โˆ… โ†” x โˆˆ {1}

this: 1 โˆˆ โˆ… โ†” 1 โˆˆ {1}


right.right
a: Set โ„•

B: Set (Set โ„•)

ha: a = {1}

hB: B = {{1}}

hโ‚: ๐’ซ a = {โˆ…, {1}}

hโ‚‚: ๐’ซ B = {โˆ…, {{1}}}

h: {โˆ…, {1}} = โˆ… โˆจ โˆ… = {1}


right.right
โˆ… = {1} โ†’ False

Goals accomplished! ๐Ÿ™
/-- ### Exercise 3.10 Show that if `a โˆˆ B`, then `๐“Ÿ a โˆˆ ๐“Ÿ ๐“Ÿ โ‹ƒ B`. -/ theorem
exercise_3_10: โˆ€ {ฮฑ : Type u_1} {a : Set ฮฑ} {B : Set (Set ฮฑ)}, a โˆˆ B โ†’ ๐’ซ a โˆˆ ๐’ซ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ B
exercise_3_10
(
ha: a โˆˆ B
ha
:
a: ?m.15059
a
โˆˆ
B: ?m.15078
B
) : ๐’ซ
a: ?m.15059
a
โˆˆ ๐’ซ (๐’ซ (โ‹ƒโ‚€
B: ?m.15078
B
)) :=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑโœ: Type u_1

a: Set ฮฑโœ

B: Set (Set ฮฑโœ)

ha: a โˆˆ B


ฮฑโœ: Type u_1

a: Set ฮฑโœ

B: Set (Set ฮฑโœ)

ha: a โˆˆ B

hโ‚: a โІ โ‹ƒโ‚€ B


ฮฑโœ: Type u_1

a: Set ฮฑโœ

B: Set (Set ฮฑโœ)

ha: a โˆˆ B


ฮฑโœ: Type u_1

a: Set ฮฑโœ

B: Set (Set ฮฑโœ)

ha: a โˆˆ B

hโ‚: a โІ โ‹ƒโ‚€ B

hโ‚‚: ๐’ซ a โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ B


ฮฑโœ: Type u_1

a: Set ฮฑโœ

B: Set (Set ฮฑโœ)

ha: a โˆˆ B


ฮฑโœ: Type u_1

a: Set ฮฑโœ

B: Set (Set ฮฑโœ)

ha: a โˆˆ B

hโ‚: a โІ โ‹ƒโ‚€ B

hโ‚‚: ๐’ซ a โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ B

b: Set (Set ฮฑโœ)

hb: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ B = b


ฮฑโœ: Type u_1

a: Set ฮฑโœ

B: Set (Set ฮฑโœ)

ha: a โˆˆ B


ฮฑโœ: Type u_1

a: Set ฮฑโœ

B: Set (Set ฮฑโœ)

ha: a โˆˆ B

hโ‚: a โІ โ‹ƒโ‚€ B

hโ‚‚: ๐’ซ a โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ B

b: Set (Set ฮฑโœ)

hb: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ B = b


{t | t โІ b}
ฮฑโœ: Type u_1

a: Set ฮฑโœ

B: Set (Set ฮฑโœ)

ha: a โˆˆ B

hโ‚: a โІ โ‹ƒโ‚€ B

hโ‚‚: ๐’ซ a โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ B

b: Set (Set ฮฑโœ)

hb: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ B = b


ฮฑโœ: Type u_1

a: Set ฮฑโœ

B: Set (Set ฮฑโœ)

ha: a โˆˆ B

hโ‚: a โІ โ‹ƒโ‚€ B

hโ‚‚: ๐’ซ a โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ B

b: Set (Set ฮฑโœ)

hb: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ B = b


ฮฑโœ: Type u_1

a: Set ฮฑโœ

B: Set (Set ฮฑโœ)

ha: a โˆˆ B

hโ‚: a โІ โ‹ƒโ‚€ B

hโ‚‚: ๐’ซ a โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ B

b: Set (Set ฮฑโœ)

hb: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ B = b


ฮฑโœ: Type u_1

a: Set ฮฑโœ

B: Set (Set ฮฑโœ)

ha: a โˆˆ B

hโ‚: a โІ โ‹ƒโ‚€ B

hโ‚‚: ๐’ซ a โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ B

b: Set (Set ฮฑโœ)

hb: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ B = b


ฮฑโœ: Type u_1

a: Set ฮฑโœ

B: Set (Set ฮฑโœ)

ha: a โˆˆ B

hโ‚: a โІ โ‹ƒโ‚€ B

hโ‚‚: ๐’ซ a โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ B

b: Set (Set ฮฑโœ)

hb: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ B = b


{t | t โІ b}
ฮฑโœ: Type u_1

a: Set ฮฑโœ

B: Set (Set ฮฑโœ)

ha: a โˆˆ B


ฮฑโœ: Type u_1

a: Set ฮฑโœ

B: Set (Set ฮฑโœ)

ha: a โˆˆ B

hโ‚: a โІ โ‹ƒโ‚€ B

hโ‚‚: ๐’ซ a โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ B

b: Set (Set ฮฑโœ)

hb: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ B = b


ฮฑโœ: Type u_1

a: Set ฮฑโœ

B: Set (Set ฮฑโœ)

ha: a โˆˆ B

hโ‚: a โІ โ‹ƒโ‚€ B

hโ‚‚: ๐’ซ a โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ B

b: Set (Set ฮฑโœ)

hb: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ B = b


ฮฑโœ: Type u_1

a: Set ฮฑโœ

B: Set (Set ฮฑโœ)

ha: a โˆˆ B

hโ‚: a โІ โ‹ƒโ‚€ B

hโ‚‚: ๐’ซ a โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ B

b: Set (Set ฮฑโœ)

hb: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ B = b


ฮฑโœ: Type u_1

a: Set ฮฑโœ

B: Set (Set ฮฑโœ)

ha: a โˆˆ B

hโ‚: a โІ โ‹ƒโ‚€ B

hโ‚‚: ๐’ซ a โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ B

b: Set (Set ฮฑโœ)

hb: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ B = b


ฮฑโœ: Type u_1

a: Set ฮฑโœ

B: Set (Set ฮฑโœ)

ha: a โˆˆ B

hโ‚: a โІ โ‹ƒโ‚€ B

hโ‚‚: ๐’ซ a โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ B

b: Set (Set ฮฑโœ)

hb: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ B = b


ฮฑโœ: Type u_1

a: Set ฮฑโœ

B: Set (Set ฮฑโœ)

ha: a โˆˆ B



Goals accomplished! ๐Ÿ™
/-- ### Exercise 4.11 (i) Show that for any sets `A` and `B`, `A = (A โˆฉ B) โˆช (A - B)`. -/ theorem
exercise_4_11_i: โˆ€ {ฮฑ : Type u_1} {A B : Set ฮฑ}, A = A โˆฉ B โˆช A \ B
exercise_4_11_i
{
A: Set ฮฑ
A
B: Set ฮฑ
B
:
Set: Type ?u.15460 โ†’ Type ?u.15460
Set
ฮฑ: ?m.15454
ฮฑ
} :
A: Set ฮฑ
A
= (
A: Set ฮฑ
A
โˆฉ
B: Set ฮฑ
B
) โˆช (
A: Set ฮฑ
A
\
B: Set ฮฑ
B
) :=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ


A = A โˆฉ B โˆช A \ B
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ


A = fun a => A a โˆง B a โˆจ A a โˆง ยฌB a
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ


A = A โˆฉ B โˆช A \ B
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ


A = fun a => A a โˆง B a โˆจ A a โˆง ยฌB a
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

this: โˆ€ (x : ฮฑ), (A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x)) = A x

x: ฮฑ


h
A x
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

this: โˆ€ (x : ฮฑ), (A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x)) = A x


A = fun a => A a โˆง B a โˆจ A a โˆง ยฌB a
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

this: โˆ€ (x : ฮฑ), (A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x)) = A x


fun a => A a โˆง B a โˆจ A a โˆง ยฌB a
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

this: โˆ€ (x : ฮฑ), (A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x)) = A x


fun a => A a โˆง B a โˆจ A a โˆง ยฌB a
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

this: โˆ€ (x : ฮฑ), (A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x)) = A x


A = fun a => A a โˆง B a โˆจ A a โˆง ยฌB a
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

this: โˆ€ (x : ฮฑ), (A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x)) = A x

x: ฮฑ


h
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

this: โˆ€ (x : ฮฑ), (A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x)) = A x

x: ฮฑ


h
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

this: โˆ€ (x : ฮฑ), (A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x)) = A x


A = fun a => A a โˆง B a โˆจ A a โˆง ยฌB a
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

this: โˆ€ (x : ฮฑ), (A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x)) = A x

x: ฮฑ


h
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

this: โˆ€ (x : ฮฑ), (A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x)) = A x

x: ฮฑ


h
A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x)
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

this: โˆ€ (x : ฮฑ), (A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x)) = A x

x: ฮฑ


h
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

this: โˆ€ (x : ฮฑ), (A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x)) = A x

x: ฮฑ


h
A x
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

this: โˆ€ (x : ฮฑ), (A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x)) = A x

x: ฮฑ


h
A x
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ


A = A โˆฉ B โˆช A \ B
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

x: ฮฑ


(A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x)) = A x
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ


A = A โˆฉ B โˆช A \ B
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

x: ฮฑ


A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x) โ†” A x
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ


A = A โˆฉ B โˆช A \ B
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

x: ฮฑ


mp
A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x) โ†’ A x
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

x: ฮฑ


mpr
A x โ†’ A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x)
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ


A = A โˆฉ B โˆช A \ B
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

x: ฮฑ


mp
A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x) โ†’ A x
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

x: ฮฑ


mp
A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x) โ†’ A x
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

x: ฮฑ


mpr
A x โ†’ A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x)
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

x: ฮฑ

hx: A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x)


mp
A x
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

x: ฮฑ


mp
A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x) โ†’ A x

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ


A = A โˆฉ B โˆช A \ B
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

x: ฮฑ


mpr
A x โ†’ A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x)
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

x: ฮฑ


mpr
A x โ†’ A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x)
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

x: ฮฑ

hx: A x


mpr
A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x)
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

x: ฮฑ


mpr
A x โ†’ A x โˆง (B x โˆจ ยฌB x)

Goals accomplished! ๐Ÿ™
/-- ### Exercise 4.11 (ii) Show that for any sets `A` and `B`, `A โˆช (B - A) = A โˆช B`. -/ theorem
exercise_4_11_ii: โˆ€ {ฮฑ : Type u_1} {A B : Set ฮฑ}, A โˆช B \ A = A โˆช B
exercise_4_11_ii
{
A: Set ฮฑ
A
B: Set ฮฑ
B
:
Set: Type ?u.15712 โ†’ Type ?u.15712
Set
ฮฑ: ?m.15709
ฮฑ
} :
A: Set ฮฑ
A
โˆช (
B: Set ฮฑ
B
\
A: Set ฮฑ
A
) =
A: Set ฮฑ
A
โˆช
B: Set ฮฑ
B
:=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ


A โˆช B \ A = A โˆช B
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ


(fun a => A a โˆจ B a โˆง ยฌA a) = fun a => A a โˆจ B a
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ


A โˆช B \ A = A โˆช B
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ


(fun a => A a โˆจ B a โˆง ยฌA a) = fun a => A a โˆจ B a
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

this: โˆ€ (x : ฮฑ), ((A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x)) = (A x โˆจ B x)

x: ฮฑ


h
A x โˆจ B x
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

this: โˆ€ (x : ฮฑ), ((A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x)) = (A x โˆจ B x)


(fun a => A a โˆจ B a โˆง ยฌA a) = fun a => A a โˆจ B a
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

this: โˆ€ (x : ฮฑ), ((A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x)) = (A x โˆจ B x)


fun a => A a โˆจ B a โˆง ยฌA a
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

this: โˆ€ (x : ฮฑ), ((A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x)) = (A x โˆจ B x)


fun a => A a โˆจ B a โˆง ยฌA a
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

this: โˆ€ (x : ฮฑ), ((A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x)) = (A x โˆจ B x)


(fun a => A a โˆจ B a โˆง ยฌA a) = fun a => A a โˆจ B a
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

this: โˆ€ (x : ฮฑ), ((A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x)) = (A x โˆจ B x)

x: ฮฑ


h
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

this: โˆ€ (x : ฮฑ), ((A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x)) = (A x โˆจ B x)

x: ฮฑ


h
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

this: โˆ€ (x : ฮฑ), ((A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x)) = (A x โˆจ B x)


(fun a => A a โˆจ B a โˆง ยฌA a) = fun a => A a โˆจ B a
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

this: โˆ€ (x : ฮฑ), ((A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x)) = (A x โˆจ B x)

x: ฮฑ


h
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

this: โˆ€ (x : ฮฑ), ((A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x)) = (A x โˆจ B x)

x: ฮฑ


h
(A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x)
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

this: โˆ€ (x : ฮฑ), ((A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x)) = (A x โˆจ B x)

x: ฮฑ


h
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

this: โˆ€ (x : ฮฑ), ((A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x)) = (A x โˆจ B x)

x: ฮฑ


h
A x โˆจ B x
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

this: โˆ€ (x : ฮฑ), ((A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x)) = (A x โˆจ B x)

x: ฮฑ


h
A x โˆจ B x
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ


A โˆช B \ A = A โˆช B
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

x: ฮฑ


((A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x)) = (A x โˆจ B x)
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ


A โˆช B \ A = A โˆช B
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

x: ฮฑ


(A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x) โ†” A x โˆจ B x
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ


A โˆช B \ A = A โˆช B
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

x: ฮฑ


mp
(A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x) โ†’ A x โˆจ B x
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

x: ฮฑ


mpr
A x โˆจ B x โ†’ (A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x)
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ


A โˆช B \ A = A โˆช B
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

x: ฮฑ


mp
(A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x) โ†’ A x โˆจ B x
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

x: ฮฑ


mp
(A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x) โ†’ A x โˆจ B x
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

x: ฮฑ


mpr
A x โˆจ B x โ†’ (A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x)
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

x: ฮฑ

hx: (A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x)


mp
A x โˆจ B x
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

x: ฮฑ


mp
(A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x) โ†’ A x โˆจ B x

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ


A โˆช B \ A = A โˆช B
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

x: ฮฑ


mpr
A x โˆจ B x โ†’ (A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x)
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

x: ฮฑ


mpr
A x โˆจ B x โ†’ (A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x)
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

x: ฮฑ

hx: A x โˆจ B x


mpr
(A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x)
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

x: ฮฑ


mpr
A x โˆจ B x โ†’ (A x โˆจ B x) โˆง (A x โˆจ ยฌA x)

Goals accomplished! ๐Ÿ™
section variable {A B C :
Set: Type ?u.20689 โ†’ Type ?u.20689
Set
โ„•: Type
โ„•
} variable {
hA: A = {1, 2, 3}
hA
: A = {
1: ?m.16964
1
,
2: ?m.16008
2
,
3: ?m.16029
3
}} variable {
hB: B = {2, 3, 4}
hB
: B = {
2: ?m.16331
2
,
3: ?m.16352
3
,
4: ?m.16373
4
}} variable {
hC: C = {3, 4, 5}
hC
: C = {
3: ?m.17281
3
,
4: ?m.16827
4
,
5: ?m.16848
5
}} lemma
right_diff_eq_insert_one_three: A \ (B \ C) = {1, 3}
right_diff_eq_insert_one_three
: A \ (B \ C) = {
1: ?m.17463
1
,
3: ?m.17485
3
} :=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


A \ (B \ C) = {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


A \ (B \ C) = {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


{1, 2, 3} \ (B \ C) = {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


A \ (B \ C) = {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


{1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ C) = {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


A \ (B \ C) = {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


{1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5}) = {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


{1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5}) = {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


A \ (B \ C) = {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h
x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5}) โ†” x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


A \ (B \ C) = {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mp
x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5}) โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mpr
x โˆˆ {1, 3} โ†’ x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5})
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


A \ (B \ C) = {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mp
x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5}) โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mp
x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5}) โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mpr
x โˆˆ {1, 3} โ†’ x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5})
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5})


h.mp
x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mp
x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5}) โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ { sdiff := fun s t => {a | a โˆˆ s โˆง ยฌa โˆˆ t} }.1 {1, 2, 3} ({ sdiff := fun s t => {a | a โˆˆ s โˆง ยฌa โˆˆ t} }.1 {2, 3, 4} {3, 4, 5})


h.mp
x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mp
x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5}) โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 {1, 2, 3} ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 {2, 3, 4} {3, 4, 5}))


h.mp
x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mp
x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5}) โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))


h.mp
x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mp
x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5}) โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))


h.mp
x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mp
x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5}) โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))


h.mp
x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) โˆจ ยฌยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))


h.mp
x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))


h.mp
x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4} โˆจ ยฌยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))


h.mp
x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4} โˆจ ยฌยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))


h.mp
x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4} โˆจ ยฌยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))


h.mp
x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mp
x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5}) โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5


h.mp
x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mp
x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5}) โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5


h.mp
x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3} โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mp
x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5}) โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}


h.mp
x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mp
x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5}) โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}


h.mp.left
(ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}


h.mp.right
(x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5) โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mp
x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5}) โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}


h.mp.left
(ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}


h.mp.left
(ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}


h.mp.right
(x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5) โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4


h.mp.left
x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}


h.mp.left
(ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โ†’ x โˆˆ {1, 3}

Goals accomplished! ๐Ÿ™
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mp
x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5}) โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}


h.mp.right
(x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5) โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}


h.mp.right
(x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5) โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5


h.mp.right
x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}


h.mp.right
(x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5) โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5


h.mp.right
(x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5) โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}


h.mp.right
(x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5) โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚: x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5


h.mp.right
x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}


h.mp.right
(x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5) โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚: x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5


h.mp.right.left
x = 2 โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚: x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5


h.mp.right.right
x โˆˆ {3} โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚: x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5


h.mp.right
x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚: x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5


h.mp.right.left
x = 2 โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚: x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5


h.mp.right.right
x โˆˆ {3} โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚: x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5


h.mp.right
x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚: x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5


h.mp.right.left.left
x = 4 โ†’ x = 2 โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚: x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5


h.mp.right.left.right
x = 5 โ†’ x = 2 โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚: x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5


h.mp.right
x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚: x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5


h.mp.right.left.left
x = 4 โ†’ x = 2 โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚: x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5


h.mp.right.left.right
x = 5 โ†’ x = 2 โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚: x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5


h.mp.right.right.left
x = 4 โ†’ x โˆˆ {3} โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚: x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5


h.mp.right.right.right
x = 5 โ†’ x โˆˆ {3} โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚: x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5


h.mp.right
x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚: x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5


h.mp.right.left.right
x = 5 โ†’ x = 2 โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚: x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5


h.mp.right.left.right
x = 5 โ†’ x = 2 โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚: x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚‚: x = 5

hzโ‚ƒ: x โˆˆ {3}


h.mp.right.right.right
x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚: x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5


h.mp.right.left.left
x = 4 โ†’ x = 2 โ†’ x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚: x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚‚: x = 4

hzโ‚ƒ: x โˆˆ {3}


h.mp.right.right.left
x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚: x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚‚: x = 4

hzโ‚ƒ: 4 โˆˆ {3}


h.mp.right.right.left
x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚: x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚‚: x = 5

hzโ‚ƒ: 5 = 2


h.mp.right.left.right
x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚: x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚‚: x = 4

hzโ‚ƒ: 4 โˆˆ {3}


h.mp.right.right.left
x โˆˆ {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: (ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ fun b => b = 3 โˆจ b = 4) โˆจ x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 3 โˆจ x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5

hzโ‚: x โˆˆ fun b => b = 4 โˆจ b = 5


h.mp.right.left.left
x = 4 โ†’ x = 2 โ†’ x โˆˆ {1, 3}

Goals accomplished! ๐Ÿ™
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


A \ (B \ C) = {1, 3}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mpr
x โˆˆ {1, 3} โ†’ x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5})
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mpr
x โˆˆ {1, 3} โ†’ x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5})
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}


h.mpr
x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5})
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mpr
x โˆˆ {1, 3} โ†’ x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5})
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}


h.mpr
x โˆˆ { sdiff := fun s t => {a | a โˆˆ s โˆง ยฌa โˆˆ t} }.1 {1, 2, 3} ({ sdiff := fun s t => {a | a โˆˆ s โˆง ยฌa โˆˆ t} }.1 {2, 3, 4} {3, 4, 5})
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mpr
x โˆˆ {1, 3} โ†’ x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5})
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}


h.mpr
{ mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 {1, 2, 3} ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 {2, 3, 4} {3, 4, 5}))
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mpr
x โˆˆ {1, 3} โ†’ x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5})
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}


h.mpr
{ mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mpr
x โˆˆ {1, 3} โ†’ x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5})
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}


h.mpr.left
x = 1 โ†’ { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}


h.mpr.right
x โˆˆ {3} โ†’ { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mpr
x โˆˆ {1, 3} โ†’ x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5})
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}


h.mpr.left
x = 1 โ†’ { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}


h.mpr.left
x = 1 โ†’ { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}


h.mpr.right
x โˆˆ {3} โ†’ { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}

hy: x = 1


h.mpr.left
{ mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}


h.mpr.left
x = 1 โ†’ { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}

hy: x = 1


h.mpr.left
ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}


h.mpr.left
x = 1 โ†’ { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}

hy: x = 1

hz: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))


h.mpr.left
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}


h.mpr.left
x = 1 โ†’ { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}

hy: x = 1

hz: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))


h.mpr.left
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}

hy: x = 1

hz: { mem := fun a s => s a }.1 1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))


h.mpr.left
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}

hy: x = 1

hz: { mem := fun a s => s a }.1 1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))


h.mpr.left
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}

hy: x = 1

hz: { mem := fun a s => s a }.1 1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))


h.mpr.left
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}


h.mpr.left
x = 1 โ†’ { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}

hy: x = 1

hz: { mem := fun a s => s a }.1 1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ { mem := fun a s => s a }.1 b s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ { mem := fun a s => s a }.1 b s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ { mem := fun a s => s a }.1 b s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ { mem := fun a s => s a }.1 b s }.1 4 {5})))


h.mpr.left
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}


h.mpr.left
x = 1 โ†’ { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}

hy: x = 1

hz: { mem := fun a s => s a }.1 1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ { mem := fun a s => s a }.1 b s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ { mem := fun a s => s a }.1 b s }.1 3 ({ singleton := fun a b => b = a }.1 4))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ { mem := fun a s => s a }.1 b s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ { mem := fun a s => s a }.1 b s }.1 4 ({ singleton := fun a b => b = a }.1 5))))


h.mpr.left
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}


h.mpr.left
x = 1 โ†’ { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

Goals accomplished! ๐Ÿ™
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mpr
x โˆˆ {1, 3} โ†’ x โˆˆ {1, 2, 3} \ ({2, 3, 4} \ {3, 4, 5})
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}


h.mpr.right
x โˆˆ {3} โ†’ { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}


h.mpr.right
x โˆˆ {3} โ†’ { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}

hy: x โˆˆ {3}


h.mpr.right
{ mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}


h.mpr.right
x โˆˆ {3} โ†’ { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}

hy: x โˆˆ {3}


h.mpr.right
ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}


h.mpr.right
x โˆˆ {3} โ†’ { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}

hy: x โˆˆ {3}

hz: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))


h.mpr.right
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}


h.mpr.right
x โˆˆ {3} โ†’ { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}

hy: x โˆˆ {3}

hz: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

hzr: ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))


h.mpr.right
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}


h.mpr.right
x โˆˆ {3} โ†’ { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}

hy: x โˆˆ {3}

hz: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

hzr: ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))


h.mpr.right
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}

hy: x โˆˆ {3}

hz: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

hzr: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}


h.mpr.right
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}

hy: x โˆˆ {3}

hz: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

hzr: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}


h.mpr.right
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}

hy: x โˆˆ {3}

hz: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

hzr: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}


h.mpr.right
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1, 3}


h.mpr.right
x โˆˆ {3} โ†’ { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))))

Goals accomplished! ๐Ÿ™
lemma
left_diff_eq_singleton_one: (A \ B) \ C = {1}
left_diff_eq_singleton_one
: (A \ B) \ C = {
1: ?m.19394
1
} :=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


(A \ B) \ C = {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


(A \ B) \ C = {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


({1, 2, 3} \ B) \ C = {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


(A \ B) \ C = {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


({1, 2, 3} \ {2, 3, 4}) \ C = {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


(A \ B) \ C = {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


({1, 2, 3} \ {2, 3, 4}) \ {3, 4, 5} = {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


({1, 2, 3} \ {2, 3, 4}) \ {3, 4, 5} = {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


(A \ B) \ C = {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h
x โˆˆ ({1, 2, 3} \ {2, 3, 4}) \ {3, 4, 5} โ†” x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


(A \ B) \ C = {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mp
x โˆˆ ({1, 2, 3} \ {2, 3, 4}) \ {3, 4, 5} โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mpr
x โˆˆ {1} โ†’ x โˆˆ ({1, 2, 3} \ {2, 3, 4}) \ {3, 4, 5}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


(A \ B) \ C = {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mp
x โˆˆ ({1, 2, 3} \ {2, 3, 4}) \ {3, 4, 5} โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mp
x โˆˆ ({1, 2, 3} \ {2, 3, 4}) \ {3, 4, 5} โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mpr
x โˆˆ {1} โ†’ x โˆˆ ({1, 2, 3} \ {2, 3, 4}) \ {3, 4, 5}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ ({1, 2, 3} \ {2, 3, 4}) \ {3, 4, 5}


h.mp
x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mp
x โˆˆ ({1, 2, 3} \ {2, 3, 4}) \ {3, 4, 5} โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ { sdiff := fun s t => {a | a โˆˆ s โˆง ยฌa โˆˆ t} }.1 ({ sdiff := fun s t => {a | a โˆˆ s โˆง ยฌa โˆˆ t} }.1 {1, 2, 3} {2, 3, 4}) {3, 4, 5}


h.mp
x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mp
x โˆˆ ({1, 2, 3} \ {2, 3, 4}) \ {3, 4, 5} โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 {1, 2, 3} {2, 3, 4}) {3, 4, 5})


h.mp
x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mp
x โˆˆ ({1, 2, 3} \ {2, 3, 4}) \ {3, 4, 5} โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))


h.mp
x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mp
x โˆˆ ({1, 2, 3} \ {2, 3, 4}) \ {3, 4, 5} โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))

hc: ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))


h.mp
x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mp
x โˆˆ ({1, 2, 3} \ {2, 3, 4}) \ {3, 4, 5} โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))

hc: ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}))


h.mp
x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}

hc: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}


h.mp
x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}

hc: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}


h.mp
x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}

hc: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}


h.mp
x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mp
x โˆˆ ({1, 2, 3} \ {2, 3, 4}) \ {3, 4, 5} โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}

hc: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}


h.mp.left
x = 1 โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}

hc: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}


h.mp.right
x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3} โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mp
x โˆˆ ({1, 2, 3} \ {2, 3, 4}) \ {3, 4, 5} โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}

hc: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}


h.mp.left
x = 1 โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}

hc: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}


h.mp.left
x = 1 โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}

hc: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}


h.mp.right
x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3} โ†’ x โˆˆ {1}

Goals accomplished! ๐Ÿ™
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mp
x โˆˆ ({1, 2, 3} \ {2, 3, 4}) \ {3, 4, 5} โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}

hc: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}


h.mp.right
x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3} โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}

hc: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}


h.mp.right
x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3} โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}

hc: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}


h.mp.right
x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}

hc: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}


h.mp.right
x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3} โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}

hc: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}


h.mp.right.left
x = 2 โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}

hc: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}


h.mp.right.right
x โˆˆ {3} โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}

hc: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}


h.mp.right
x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3} โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}

hc: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}


h.mp.right.left
x = 2 โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}

hc: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}


h.mp.right.left
x = 2 โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}

hc: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}


h.mp.right.right
x โˆˆ {3} โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}

hc: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x = 2


h.mp.right.left
x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}

hc: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}


h.mp.right.left
x = 2 โ†’ x โˆˆ {1}

Goals accomplished! ๐Ÿ™
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}

hc: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}


h.mp.right
x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3} โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}

hc: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}


h.mp.right.right
x โˆˆ {3} โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}

hc: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}


h.mp.right.right
x โˆˆ {3} โ†’ x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}

hc: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}

hz: x โˆˆ {3}


h.mp.right.right
x โˆˆ {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ sdiff := fun s t a => { mem := fun a s => s a }.1 a s โˆง ยฌ{ mem := fun a s => s a }.1 a t }.1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3})) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}))) ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5})))

ha: { mem := fun a s => s a }.1 x ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 1 ({ insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}))

hb: ยฌx = 2 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 3 {4}

hc: ยฌx = 3 โˆง ยฌx โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 4 {5}

hy: x โˆˆ { insert := fun a s b => b = a โˆจ b โˆˆ s }.1 2 {3}


h.mp.right.right
x โˆˆ {3} โ†’ x โˆˆ {1}

Goals accomplished! ๐Ÿ™
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


(A \ B) \ C = {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mpr
x โˆˆ {1} โ†’ x โˆˆ ({1, 2, 3} \ {2, 3, 4}) \ {3, 4, 5}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mpr
x โˆˆ {1} โ†’ x โˆˆ ({1, 2, 3} \ {2, 3, 4}) \ {3, 4, 5}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}


h.mpr
x โˆˆ ({1, 2, 3} \ {2, 3, 4}) \ {3, 4, 5}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•


h.mpr
x โˆˆ {1} โ†’ x โˆˆ ({1, 2, 3} \ {2, 3, 4}) \ {3, 4, 5}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}


h.mpr.refine_1
ยฌx โˆˆ {2, 3, 4}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}


h.mpr.refine_2
ยฌx โˆˆ {3, 4, 5}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}


h.mpr
x โˆˆ ({1, 2, 3} \ {2, 3, 4}) \ {3, 4, 5}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}


h.mpr.refine_1
ยฌx โˆˆ {2, 3, 4}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}


h.mpr.refine_2
ยฌx โˆˆ {3, 4, 5}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}


h.mpr
x โˆˆ ({1, 2, 3} \ {2, 3, 4}) \ {3, 4, 5}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}


h.mpr.refine_2
ยฌx โˆˆ {3, 4, 5}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}


h.mpr.refine_2
ยฌx โˆˆ {3, 4, 5}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

hy: x โˆˆ {3, 4, 5}


h.mpr.refine_2
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}


h.mpr.refine_2
ยฌx โˆˆ {3, 4, 5}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

hy: x โˆˆ {2, 3, 4}


h.mpr.refine_1
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

y: x = 3


h.mpr.refine_2.inl
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

y: x = 2


h.mpr.refine_1.inl
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

y: 1 = 3


h.mpr.refine_2.inl
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

y: 1 = 2


h.mpr.refine_1.inl
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

y: 1 = 2


h.mpr.refine_1.inl
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

y: 1 = 3


h.mpr.refine_2.inl
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

y: x = 2


h.mpr.refine_1.inl

Goals accomplished! ๐Ÿ™
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

hy: x โˆˆ {2, 3, 4}


h.mpr.refine_1
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

hz: x โˆˆ {4, 5}


h.mpr.refine_2.inr
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

hz: x โˆˆ {3, 4}


h.mpr.refine_1.inr
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

y: x = 3


h.mpr.refine_1.inr.inl
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

y: x = 3


h.mpr.refine_1.inr.inl
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

y: 1 = 3


h.mpr.refine_1.inr.inl
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

y: 1 = 3


h.mpr.refine_1.inr.inl
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

y: 1 = 3


h.mpr.refine_1.inr.inl
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

y: 1 = 3


h.mpr.refine_1.inr.inl
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

y: x = 4


h.mpr.refine_2.inr.inl

Goals accomplished! ๐Ÿ™
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

hz: x โˆˆ {3, 4}


h.mpr.refine_1.inr
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

y: x โˆˆ {4}


h.mpr.refine_1.inr.inr
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

y: x โˆˆ {5}


h.mpr.refine_2.inr.inr
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

y: 1 โˆˆ {4}


h.mpr.refine_1.inr.inr
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

y: 1 โˆˆ {5}


h.mpr.refine_2.inr.inr
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

y: 1 โˆˆ {5}


h.mpr.refine_2.inr.inr
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

y: 1 โˆˆ {5}


h.mpr.refine_2.inr.inr
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

x: โ„•

hx: x โˆˆ {1}

y: x โˆˆ {4}


h.mpr.refine_1.inr.inr

Goals accomplished! ๐Ÿ™
/-- ### Exercise 4.14 Show by example that for some sets `A`, `B`, and `C`, the set `A - (B - C)` is different from `(A - B) - C`. -/ theorem
exercise_4_14: A \ (B \ C) โ‰  (A \ B) \ C
exercise_4_14
: A \ (B \ C) โ‰  (A \ B) \ C :=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


A \ (B \ C) โ‰  (A \ B) \ C
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


A \ (B \ C) โ‰  (A \ B) \ C
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


{1, 3} โ‰  (A \ B) \ C
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


A \ (B \ C) โ‰  (A \ B) \ C
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


{1, 3} โ‰  {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


A \ (B \ C) โ‰  (A \ B) \ C
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


{1, 3} โ‰  {1}
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


A \ (B \ C) โ‰  (A \ B) \ C
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

h: {1, 3} = {1}


A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


A \ (B \ C) โ‰  (A \ B) \ C
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

h: {1, 3} = {1}


A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

h: โˆ€ (x : โ„•), x โˆˆ {1, 3} โ†” x โˆˆ {1}


A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

h: โˆ€ (x : โ„•), x โˆˆ {1, 3} โ†” x โˆˆ {1}


A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

h: โˆ€ (x : โ„•), x โˆˆ {1, 3} โ†” x โˆˆ {1}


A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


A \ (B \ C) โ‰  (A \ B) \ C
A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}

h: โˆ€ (x : โ„•), x โˆˆ {1, 3} โ†” x โˆˆ {1}

this: 3 โˆˆ {1, 3} โ†” 3 โˆˆ {1}


A, B, C: Set โ„•

hA: A = {1, 2, 3}

hB: B = {2, 3, 4}

hC: C = {3, 4, 5}


A \ (B \ C) โ‰  (A \ B) \ C

Goals accomplished! ๐Ÿ™
end /-- ### Exercise 4.16 Simplify: `[(A โˆช B โˆช C) โˆฉ (A โˆช B)] - [(A โˆช (B - C)) โˆฉ A]` -/ theorem
exercise_4_16: โˆ€ {ฮฑ : Type u_1} {A B C : Set ฮฑ}, ((A โˆช B โˆช C) โˆฉ (A โˆช B)) \ ((A โˆช B \ C) โˆฉ A) = B \ A
exercise_4_16
{
A: Set ฮฑ
A
B: Set ฮฑ
B
C: Set ฮฑ
C
:
Set: Type ?u.21559 โ†’ Type ?u.21559
Set
ฮฑ: ?m.21556
ฮฑ
} : ((
A: Set ฮฑ
A
โˆช
B: Set ฮฑ
B
โˆช
C: Set ฮฑ
C
) โˆฉ (
A: Set ฮฑ
A
โˆช
B: Set ฮฑ
B
)) \ ((
A: Set ฮฑ
A
โˆช (
B: Set ฮฑ
B
\
C: Set ฮฑ
C
)) โˆฉ
A: Set ฮฑ
A
) =
B: Set ฮฑ
B
\
A: Set ฮฑ
A
:=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ


((A โˆช B โˆช C) โˆฉ (A โˆช B)) \ ((A โˆช B \ C) โˆฉ A) = B \ A
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ


((A โˆช B โˆช C) โˆฉ (A โˆช B)) \ ((A โˆช B \ C) โˆฉ A) = B \ A

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ


((A โˆช B โˆช C) โˆฉ (A โˆช B)) \ ((A โˆช B \ C) โˆฉ A) = (A โˆช B) \ ((A โˆช B \ C) โˆฉ A)
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ


((A โˆช B โˆช C) โˆฉ (A โˆช B)) \ ((A โˆช B \ C) โˆฉ A) = (A โˆช B) \ ((A โˆช B \ C) โˆฉ A)
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ


(A โˆช B) \ ((A โˆช B \ C) โˆฉ A) = (A โˆช B) \ ((A โˆช B \ C) โˆฉ A)

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ


((A โˆช B โˆช C) โˆฉ (A โˆช B)) \ ((A โˆช B \ C) โˆฉ A) = B \ A

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ


(A โˆช B) \ ((A โˆช B \ C) โˆฉ A) = (A โˆช B) \ A
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ


(A โˆช B) \ ((A โˆช B \ C) โˆฉ A) = (A โˆช B) \ A
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ


(A โˆช B) \ A = (A โˆช B) \ A

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ


((A โˆช B โˆช C) โˆฉ (A โˆช B)) \ ((A โˆช B \ C) โˆฉ A) = B \ A

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ


(A โˆช B) \ A = B \ A
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ


(A โˆช B) \ A = B \ A
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ


B \ A = B \ A

Goals accomplished! ๐Ÿ™
/-! ### Exercise 4.17 Show that the following four conditions are equivalent. (a) `A โІ B` (b) `A - B = โˆ…` (c) `A โˆช B = B` (d) `A โˆฉ B = A` -/ theorem
exercise_4_17_i: โˆ€ {ฮฑ : Type u_1} {A B : Set ฮฑ}, A โІ B โ†’ A \ B = โˆ…
exercise_4_17_i
{
A: Set ฮฑ
A
B: Set ฮฑ
B
:
Set: Type ?u.22138 โ†’ Type ?u.22138
Set
ฮฑ: ?m.22132
ฮฑ
} (
h: A โІ B
h
:
A: Set ฮฑ
A
โІ
B: Set ฮฑ
B
) :
A: Set ฮฑ
A
\
B: Set ฮฑ
B
=
โˆ…: ?m.22177
โˆ…
:=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A โІ B


A \ B = โˆ…
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A โІ B

x: ฮฑ


h
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A โІ B


A \ B = โˆ…
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A โІ B

x: ฮฑ


h.mp
x โˆˆ A \ B โ†’ x โˆˆ โˆ…
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A โІ B

x: ฮฑ


h.mpr
x โˆˆ โˆ… โ†’ x โˆˆ A \ B
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A โІ B


A \ B = โˆ…
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A โІ B

x: ฮฑ


h.mp
x โˆˆ A \ B โ†’ x โˆˆ โˆ…
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A โІ B

x: ฮฑ


h.mp
x โˆˆ A \ B โ†’ x โˆˆ โˆ…
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A โІ B

x: ฮฑ


h.mpr
x โˆˆ โˆ… โ†’ x โˆˆ A \ B
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A โІ B

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ A \ B


h.mp
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A โІ B

x: ฮฑ


h.mp
x โˆˆ A \ B โ†’ x โˆˆ โˆ…

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A โІ B


A \ B = โˆ…
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A โІ B

x: ฮฑ


h.mpr
x โˆˆ โˆ… โ†’ x โˆˆ A \ B
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A โІ B

x: ฮฑ


h.mpr
x โˆˆ โˆ… โ†’ x โˆˆ A \ B
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A โІ B

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โˆ…


h.mpr
x โˆˆ A \ B
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A โІ B

x: ฮฑ


h.mpr
x โˆˆ โˆ… โ†’ x โˆˆ A \ B

Goals accomplished! ๐Ÿ™
theorem
exercise_4_17_ii: โˆ€ {ฮฑ : Type u_1} {A B : Set ฮฑ}, A \ B = โˆ… โ†’ A โˆช B = B
exercise_4_17_ii
{
A: Set ฮฑ
A
B: Set ฮฑ
B
:
Set: Type ?u.22335 โ†’ Type ?u.22335
Set
ฮฑ: ?m.22329
ฮฑ
} (
h: A \ B = โˆ…
h
:
A: Set ฮฑ
A
\
B: Set ฮฑ
B
=
โˆ…: ?m.22357
โˆ…
) :
A: Set ฮฑ
A
โˆช
B: Set ฮฑ
B
=
B: Set ฮฑ
B
:=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A \ B = โˆ…


A โˆช B = B
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A \ B = โˆ…


ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A \ B = โˆ…


A โˆช B = B
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A \ B = โˆ…


โˆ€ (t : ฮฑ), t โˆˆ A โ†’ t โˆˆ B
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A \ B = โˆ…


A โˆช B = B
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A \ B = โˆ…

t: ฮฑ

ht: t โˆˆ A


ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A \ B = โˆ…


A โˆช B = B
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A \ B = โˆ…

t: ฮฑ

ht: t โˆˆ A


ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: โˆ€ (x : ฮฑ), x โˆˆ A \ B โ†” x โˆˆ โˆ…

t: ฮฑ

ht: t โˆˆ A


ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: โˆ€ (x : ฮฑ), x โˆˆ A \ B โ†” x โˆˆ โˆ…

t: ฮฑ

ht: t โˆˆ A


ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: โˆ€ (x : ฮฑ), x โˆˆ A \ B โ†” x โˆˆ โˆ…

t: ฮฑ

ht: t โˆˆ A


ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A \ B = โˆ…


A โˆช B = B
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: โˆ€ (x : ฮฑ), x โˆˆ A \ B โ†” x โˆˆ โˆ…

t: ฮฑ

ht: t โˆˆ A

nt: ยฌt โˆˆ B


ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A \ B = โˆ…


A โˆช B = B

Goals accomplished! ๐Ÿ™
theorem
exercise_4_17_iii: โˆ€ {ฮฑ : Type u_1} {A B : Set ฮฑ}, A โˆช B = B โ†’ A โˆฉ B = A
exercise_4_17_iii
{
A: Set ฮฑ
A
B: Set ฮฑ
B
:
Set: Type ?u.22771 โ†’ Type ?u.22771
Set
ฮฑ: ?m.22765
ฮฑ
} (
h: A โˆช B = B
h
:
A: Set ฮฑ
A
โˆช
B: Set ฮฑ
B
=
B: Set ฮฑ
B
) :
A: Set ฮฑ
A
โˆฉ
B: Set ฮฑ
B
=
A: Set ฮฑ
A
:=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A โˆช B = B


A โˆฉ B = A
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A โˆช B = B


ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: A โˆช B = B


A โˆฉ B = A

Goals accomplished! ๐Ÿ™
theorem
exercise_4_17_iv: โˆ€ {ฮฑ : Type u_1} {A B : Set ฮฑ}, A โˆฉ B = A โ†’ A โІ B
exercise_4_17_iv
{
A: Set ฮฑ
A
B: Set ฮฑ
B
:
Set: Type ?u.22879 โ†’ Type ?u.22879
Set
ฮฑ: ?m.22873
ฮฑ
} (
h: A โˆฉ B = A
h
:
A: Set ฮฑ
A
โˆฉ
B: Set ฮฑ
B
=
A: Set ฮฑ
A
) :
A: Set ฮฑ
A
โІ
B: Set ฮฑ
B
:=
Set.inter_eq_left_iff_subset: โˆ€ {ฮฑ : Type ?u.22924} {s t : Set ฮฑ}, s โˆฉ t = s โ†” s โІ t
Set.inter_eq_left_iff_subset
.
mp: โˆ€ {a b : Prop}, (a โ†” b) โ†’ a โ†’ b
mp
h: A โˆฉ B = A
h
/-- ### Exercise 4.19 Is `๐’ซ (A - B)` always equal to `๐’ซ A - ๐’ซ B`? Is it ever equal to `๐’ซ A - ๐’ซ B`? -/ theorem
exercise_4_19: โˆ€ {ฮฑ : Type u_1} {A B : Set ฮฑ}, ๐’ซ(A \ B) โ‰  ๐’ซ A \ ๐’ซ B
exercise_4_19
{
A: Set ฮฑ
A
B: Set ฮฑ
B
:
Set: Type ?u.22950 โ†’ Type ?u.22950
Set
ฮฑ: ?m.22947
ฮฑ
} : ๐’ซ (
A: Set ฮฑ
A
\
B: Set ฮฑ
B
) โ‰  (๐’ซ
A: Set ฮฑ
A
) \ (๐’ซ
B: Set ฮฑ
B
) :=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ


ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: ๐’ซ(A \ B) = ๐’ซ A \ ๐’ซ B


ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ


ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: ๐’ซ(A \ B) = ๐’ซ A \ ๐’ซ B



Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: ๐’ซ(A \ B) = ๐’ซ A \ ๐’ซ B



Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ


ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: ๐’ซ(A \ B) = ๐’ซ A \ ๐’ซ B

he: โˆ… โˆˆ ๐’ซ(A \ B)



Goals accomplished! ๐Ÿ™

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ


ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑ), x โˆˆ ๐’ซ(A \ B) โ†” x โˆˆ ๐’ซ A \ ๐’ซ B

he: โˆ… โˆˆ ๐’ซ(A \ B)

ne: ยฌโˆ… โˆˆ ๐’ซ A \ ๐’ซ B


ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑ), x โˆˆ ๐’ซ(A \ B) โ†” x โˆˆ ๐’ซ A \ ๐’ซ B

he: โˆ… โˆˆ ๐’ซ(A \ B)

ne: ยฌโˆ… โˆˆ ๐’ซ A \ ๐’ซ B


ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ

h: โˆ€ (x : Set ฮฑ), x โˆˆ ๐’ซ(A \ B) โ†” x โˆˆ ๐’ซ A \ ๐’ซ B

he: โˆ… โˆˆ ๐’ซ(A \ B)

ne: ยฌโˆ… โˆˆ ๐’ซ A \ ๐’ซ B


ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ


ฮฑ: Type u_1

A, B: Set ฮฑ



Goals accomplished! ๐Ÿ™
/-- ### Exercise 4.20 Let `A`, `B`, and `C` be sets such that `A โˆช B = A โˆช C` and `A โˆฉ B = A โˆฉ C`. Show that `B = C`. -/ theorem
exercise_4_20: โˆ€ {ฮฑ : Type u_1} {A B C : Set ฮฑ}, A โˆช B = A โˆช C โ†’ A โˆฉ B = A โˆฉ C โ†’ B = C
exercise_4_20
{
A: Set ฮฑ
A
B: Set ฮฑ
B
C: Set ฮฑ
C
:
Set: Type ?u.23625 โ†’ Type ?u.23625
Set
ฮฑ: ?m.23619
ฮฑ
} (
hu: A โˆช B = A โˆช C
hu
:
A: Set ฮฑ
A
โˆช
B: Set ฮฑ
B
=
A: Set ฮฑ
A
โˆช
C: Set ฮฑ
C
) (
hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C
hi
:
A: Set ฮฑ
A
โˆฉ
B: Set ฮฑ
B
=
A: Set ฮฑ
A
โˆฉ
C: Set ฮฑ
C
) :
B: Set ฮฑ
B
=
C: Set ฮฑ
C
:=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C


B = C
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ


h
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C


B = C
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ


h.mp
x โˆˆ B โ†’ x โˆˆ C
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ


h.mpr
x โˆˆ C โ†’ x โˆˆ B
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C


B = C
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ


h.mp
x โˆˆ B โ†’ x โˆˆ C
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ


h.mp
x โˆˆ B โ†’ x โˆˆ C
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ


h.mpr
x โˆˆ C โ†’ x โˆˆ B
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hB: x โˆˆ B


h.mp
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ


h.mp
x โˆˆ B โ†’ x โˆˆ C
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hB: x โˆˆ B

hA: x โˆˆ A


pos
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hB: x โˆˆ B

hA: ยฌx โˆˆ A


neg
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ


h.mp
x โˆˆ B โ†’ x โˆˆ C
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hB: x โˆˆ B

hA: x โˆˆ A


pos
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hB: x โˆˆ B

hA: x โˆˆ A


pos
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hB: x โˆˆ B

hA: ยฌx โˆˆ A


neg
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hB: x โˆˆ B

hA: x โˆˆ A

this: x โˆˆ A โˆฉ B


pos
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hB: x โˆˆ B

hA: x โˆˆ A


pos
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hB: x โˆˆ B

hA: x โˆˆ A

this: x โˆˆ A โˆฉ B


pos
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hB: x โˆˆ B

hA: x โˆˆ A

this: x โˆˆ A โˆฉ C


pos
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hB: x โˆˆ B

hA: x โˆˆ A

this: x โˆˆ A โˆฉ C


pos
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hB: x โˆˆ B

hA: x โˆˆ A

this: x โˆˆ A โˆฉ C


pos
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hB: x โˆˆ B

hA: x โˆˆ A


pos

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ


h.mp
x โˆˆ B โ†’ x โˆˆ C
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hB: x โˆˆ B

hA: ยฌx โˆˆ A


neg
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hB: x โˆˆ B

hA: ยฌx โˆˆ A


neg
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hB: x โˆˆ B

hA: ยฌx โˆˆ A

this: x โˆˆ A โˆช B


neg
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hB: x โˆˆ B

hA: ยฌx โˆˆ A


neg
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hB: x โˆˆ B

hA: ยฌx โˆˆ A

this: x โˆˆ A โˆช B


neg
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hB: x โˆˆ B

hA: ยฌx โˆˆ A

this: x โˆˆ A โˆช C


neg
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hB: x โˆˆ B

hA: ยฌx โˆˆ A

this: x โˆˆ A โˆช C


neg
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hB: x โˆˆ B

hA: ยฌx โˆˆ A

this: x โˆˆ A โˆช C


neg
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hB: x โˆˆ B

hA: ยฌx โˆˆ A


neg
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hB: x โˆˆ B

hA: ยฌx โˆˆ A

this: x โˆˆ A โˆช C


neg

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hB: x โˆˆ B

hA: ยฌx โˆˆ A

this: x โˆˆ A โˆช C


x โˆˆ C โ†’ x โˆˆ C

Goals accomplished! ๐Ÿ™

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C


B = C
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ


h.mpr
x โˆˆ C โ†’ x โˆˆ B
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ


h.mpr
x โˆˆ C โ†’ x โˆˆ B
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hC: x โˆˆ C


h.mpr
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ


h.mpr
x โˆˆ C โ†’ x โˆˆ B
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hC: x โˆˆ C

hA: x โˆˆ A


pos
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hC: x โˆˆ C

hA: ยฌx โˆˆ A


neg
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ


h.mpr
x โˆˆ C โ†’ x โˆˆ B
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hC: x โˆˆ C

hA: x โˆˆ A


pos
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hC: x โˆˆ C

hA: x โˆˆ A


pos
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hC: x โˆˆ C

hA: ยฌx โˆˆ A


neg
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hC: x โˆˆ C

hA: x โˆˆ A

this: x โˆˆ A โˆฉ C


pos
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hC: x โˆˆ C

hA: x โˆˆ A


pos
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hC: x โˆˆ C

hA: x โˆˆ A

this: x โˆˆ A โˆฉ C


pos
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hC: x โˆˆ C

hA: x โˆˆ A

this: x โˆˆ A โˆฉ B


pos
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hC: x โˆˆ C

hA: x โˆˆ A

this: x โˆˆ A โˆฉ B


pos
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hC: x โˆˆ C

hA: x โˆˆ A

this: x โˆˆ A โˆฉ B


pos
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hC: x โˆˆ C

hA: x โˆˆ A


pos

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ


h.mpr
x โˆˆ C โ†’ x โˆˆ B
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hC: x โˆˆ C

hA: ยฌx โˆˆ A


neg
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hC: x โˆˆ C

hA: ยฌx โˆˆ A


neg
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hC: x โˆˆ C

hA: ยฌx โˆˆ A

this: x โˆˆ A โˆช C


neg
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hC: x โˆˆ C

hA: ยฌx โˆˆ A


neg
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hC: x โˆˆ C

hA: ยฌx โˆˆ A

this: x โˆˆ A โˆช C


neg
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hC: x โˆˆ C

hA: ยฌx โˆˆ A

this: x โˆˆ A โˆช B


neg
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hC: x โˆˆ C

hA: ยฌx โˆˆ A

this: x โˆˆ A โˆช B


neg
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hC: x โˆˆ C

hA: ยฌx โˆˆ A

this: x โˆˆ A โˆช B


neg
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hC: x โˆˆ C

hA: ยฌx โˆˆ A


neg
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hC: x โˆˆ C

hA: ยฌx โˆˆ A

this: x โˆˆ A โˆช B


neg

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B, C: Set ฮฑ

hu: A โˆช B = A โˆช C

hi: A โˆฉ B = A โˆฉ C

x: ฮฑ

hC: x โˆˆ C

hA: ยฌx โˆˆ A

this: x โˆˆ A โˆช B


x โˆˆ B โ†’ x โˆˆ B

Goals accomplished! ๐Ÿ™

Goals accomplished! ๐Ÿ™
/-- ### Exercise 4.21 Show that `โ‹ƒ (A โˆช B) = (โ‹ƒ A) โˆช (โ‹ƒ B)`. -/ theorem
exercise_4_21: โˆ€ {ฮฑ : Type u_1} {A B : Set (Set ฮฑ)}, โ‹ƒโ‚€ (A โˆช B) = โ‹ƒโ‚€ A โˆช โ‹ƒโ‚€ B
exercise_4_21
{
A: Set (Set ฮฑ)
A
B: Set (Set ฮฑ)
B
:
Set: Type ?u.24463 โ†’ Type ?u.24463
Set
(
Set: Type ?u.24468 โ†’ Type ?u.24468
Set
ฮฑ: ?m.24460
ฮฑ
)} : โ‹ƒโ‚€ (
A: Set (Set ฮฑ)
A
โˆช
B: Set (Set ฮฑ)
B
) = (โ‹ƒโ‚€
A: Set (Set ฮฑ)
A
) โˆช (โ‹ƒโ‚€
B: Set (Set ฮฑ)
B
) :=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mp
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mpr
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mp
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mp
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mpr
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ (A โˆช B)


h.mp
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mp
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ (A โˆช B)

t: Set ฮฑ

ht: t โˆˆ A โˆช B โˆง x โˆˆ t


h.mp
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mp
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ (A โˆช B)

t: Set ฮฑ

ht: t โˆˆ A โˆช B โˆง x โˆˆ t


h.mp.left
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ (A โˆช B)

t: Set ฮฑ

ht: t โˆˆ A โˆช B โˆง x โˆˆ t


h.mp.right
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mp
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ (A โˆช B)

t: Set ฮฑ

ht: t โˆˆ A โˆช B โˆง x โˆˆ t


h.mp.left
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ (A โˆช B)

t: Set ฮฑ

ht: t โˆˆ A โˆช B โˆง x โˆˆ t


h.mp.left
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ (A โˆช B)

t: Set ฮฑ

ht: t โˆˆ A โˆช B โˆง x โˆˆ t


h.mp.right
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ (A โˆช B)

t: Set ฮฑ

ht: t โˆˆ A โˆช B โˆง x โˆˆ t

hA: t โˆˆ A


h.mp.left
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ (A โˆช B)

t: Set ฮฑ

ht: t โˆˆ A โˆช B โˆง x โˆˆ t


h.mp.left

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mp
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ (A โˆช B)

t: Set ฮฑ

ht: t โˆˆ A โˆช B โˆง x โˆˆ t


h.mp.right
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ (A โˆช B)

t: Set ฮฑ

ht: t โˆˆ A โˆช B โˆง x โˆˆ t


h.mp.right
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ (A โˆช B)

t: Set ฮฑ

ht: t โˆˆ A โˆช B โˆง x โˆˆ t

hB: t โˆˆ B


h.mp.right
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ (A โˆช B)

t: Set ฮฑ

ht: t โˆˆ A โˆช B โˆง x โˆˆ t


h.mp.right

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mpr
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mpr
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ A โˆช โ‹ƒโ‚€ B


h.mpr
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mpr
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ A โˆช โ‹ƒโ‚€ B


h.mpr.left
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ A โˆช โ‹ƒโ‚€ B


h.mpr.right
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mpr
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ A โˆช โ‹ƒโ‚€ B


h.mpr.left
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ A โˆช โ‹ƒโ‚€ B


h.mpr.left
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ A โˆช โ‹ƒโ‚€ B


h.mpr.right
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ A โˆช โ‹ƒโ‚€ B

hA: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ A


h.mpr.left
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ A โˆช โ‹ƒโ‚€ B


h.mpr.left
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ A โˆช โ‹ƒโ‚€ B

hA: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ A

t: Set ฮฑ

ht: t โˆˆ A โˆง x โˆˆ t


h.mpr.left
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ A โˆช โ‹ƒโ‚€ B


h.mpr.left

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mpr
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ A โˆช โ‹ƒโ‚€ B


h.mpr.right
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ A โˆช โ‹ƒโ‚€ B


h.mpr.right
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ A โˆช โ‹ƒโ‚€ B

hB: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ B


h.mpr.right
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ A โˆช โ‹ƒโ‚€ B


h.mpr.right
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ A โˆช โ‹ƒโ‚€ B

hB: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ B

t: Set ฮฑ

ht: t โˆˆ B โˆง x โˆˆ t


h.mpr.right
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ A โˆช โ‹ƒโ‚€ B


h.mpr.right

Goals accomplished! ๐Ÿ™
/-- ### Exercise 4.22 Show that if `A` and `B` are nonempty sets, then `โ‹‚ (A โˆช B) = โ‹‚ A โˆฉ โ‹‚ B`. -/ theorem
exercise_4_22: โˆ€ {ฮฑ : Type u_1} {A B : Set (Set ฮฑ)}, โ‹‚โ‚€ (A โˆช B) = โ‹‚โ‚€ A โˆฉ โ‹‚โ‚€ B
exercise_4_22
{
A: Set (Set ฮฑ)
A
B: Set (Set ฮฑ)
B
:
Set: Type ?u.25132 โ†’ Type ?u.25132
Set
(
Set: Type ?u.25129 โ†’ Type ?u.25129
Set
ฮฑ: ?m.25125
ฮฑ
)} : โ‹‚โ‚€ (
A: Set (Set ฮฑ)
A
โˆช
B: Set (Set ฮฑ)
B
) = โ‹‚โ‚€
A: Set (Set ฮฑ)
A
โˆฉ โ‹‚โ‚€
B: Set (Set ฮฑ)
B
:=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mp
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mpr
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mp
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mp
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mpr
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ (A โˆช B)


h.mp
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mp
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ (A โˆช B)

this: โˆ€ (t : Set ฮฑ), t โˆˆ A โˆช B โ†’ x โˆˆ t


h.mp
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mp
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ (A โˆช B)

this: โˆ€ (t : Set ฮฑ), t โˆˆ A โˆช B โ†’ x โˆˆ t


h.mp
(โˆ€ (t : Set ฮฑ), t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t) โˆง โˆ€ (t : Set ฮฑ), t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mp
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ (A โˆช B)

this: โˆ€ (t : Set ฮฑ), t โˆˆ A โˆช B โ†’ x โˆˆ t


h.mp
(โˆ€ (t : Set ฮฑ), t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t) โˆง โˆ€ (t : Set ฮฑ), t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ (A โˆช B)

this: โˆ€ (t : Set ฮฑ), t โˆˆ A โˆช B โ†’ x โˆˆ t


h.mp
โˆ€ (x_1 : Set ฮฑ), (x_1 โˆˆ A โ†’ x โˆˆ x_1) โˆง (x_1 โˆˆ B โ†’ x โˆˆ x_1)
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ (A โˆช B)

this: โˆ€ (t : Set ฮฑ), t โˆˆ A โˆช B โ†’ x โˆˆ t


h.mp
โˆ€ (x_1 : Set ฮฑ), (x_1 โˆˆ A โ†’ x โˆˆ x_1) โˆง (x_1 โˆˆ B โ†’ x โˆˆ x_1)
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mp
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ (A โˆช B)

this: โˆ€ (t : Set ฮฑ), t โˆˆ A โˆช B โ†’ x โˆˆ t

t: Set ฮฑ


h.mp
(t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t) โˆง (t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t)
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mp

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mpr
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mpr
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ A โˆฉ โ‹‚โ‚€ B


h.mpr
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mpr
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ A โˆฉ โ‹‚โ‚€ B


h.mpr

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ A โˆฉ โ‹‚โ‚€ B


โˆ€ (t : Set ฮฑ), (t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t) โˆง (t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t)
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ A โˆฉ โ‹‚โ‚€ B

this: (โˆ€ (t : Set ฮฑ), t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t) โˆง โˆ€ (t : Set ฮฑ), t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t


โˆ€ (t : Set ฮฑ), (t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t) โˆง (t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t)
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ A โˆฉ โ‹‚โ‚€ B


โˆ€ (t : Set ฮฑ), (t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t) โˆง (t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t)
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ A โˆฉ โ‹‚โ‚€ B

this: (โˆ€ (t : Set ฮฑ), t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t) โˆง โˆ€ (t : Set ฮฑ), t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t


โˆ€ (t : Set ฮฑ), (t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t) โˆง (t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t)
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ A โˆฉ โ‹‚โ‚€ B

this: โˆ€ (x_1 : Set ฮฑ), (x_1 โˆˆ A โ†’ x โˆˆ x_1) โˆง (x_1 โˆˆ B โ†’ x โˆˆ x_1)


โˆ€ (t : Set ฮฑ), (t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t) โˆง (t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t)
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ A โˆฉ โ‹‚โ‚€ B

this: โˆ€ (x_1 : Set ฮฑ), (x_1 โˆˆ A โ†’ x โˆˆ x_1) โˆง (x_1 โˆˆ B โ†’ x โˆˆ x_1)


โˆ€ (t : Set ฮฑ), (t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t) โˆง (t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t)

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mpr
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ A โˆฉ โ‹‚โ‚€ B

this: โˆ€ (t : Set ฮฑ), (t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t) โˆง (t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t)


h.mpr
โˆ€ (t : Set ฮฑ), t โˆˆ A โˆช B โ†’ x โˆˆ t
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mpr
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ A โˆฉ โ‹‚โ‚€ B

this: โˆ€ (t : Set ฮฑ), (t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t) โˆง (t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t)

t: Set ฮฑ

ht: t โˆˆ A โˆช B


h.mpr
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mpr
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ A โˆฉ โ‹‚โ‚€ B

this: โˆ€ (t : Set ฮฑ), (t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t) โˆง (t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t)

t: Set ฮฑ

ht: t โˆˆ A โˆช B


h.mpr.left
t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ A โˆฉ โ‹‚โ‚€ B

this: โˆ€ (t : Set ฮฑ), (t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t) โˆง (t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t)

t: Set ฮฑ

ht: t โˆˆ A โˆช B


h.mpr.right
t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mpr
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ A โˆฉ โ‹‚โ‚€ B

this: โˆ€ (t : Set ฮฑ), (t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t) โˆง (t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t)

t: Set ฮฑ

ht: t โˆˆ A โˆช B


h.mpr.left
t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ A โˆฉ โ‹‚โ‚€ B

this: โˆ€ (t : Set ฮฑ), (t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t) โˆง (t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t)

t: Set ฮฑ

ht: t โˆˆ A โˆช B


h.mpr.left
t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ A โˆฉ โ‹‚โ‚€ B

this: โˆ€ (t : Set ฮฑ), (t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t) โˆง (t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t)

t: Set ฮฑ

ht: t โˆˆ A โˆช B


h.mpr.right
t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ A โˆฉ โ‹‚โ‚€ B

this: โˆ€ (t : Set ฮฑ), (t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t) โˆง (t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t)

t: Set ฮฑ

ht: t โˆˆ A โˆช B

hA: t โˆˆ A


h.mpr.left
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ A โˆฉ โ‹‚โ‚€ B

this: โˆ€ (t : Set ฮฑ), (t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t) โˆง (t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t)

t: Set ฮฑ

ht: t โˆˆ A โˆช B


h.mpr.left
t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ


h.mpr
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ A โˆฉ โ‹‚โ‚€ B

this: โˆ€ (t : Set ฮฑ), (t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t) โˆง (t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t)

t: Set ฮฑ

ht: t โˆˆ A โˆช B


h.mpr.right
t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ A โˆฉ โ‹‚โ‚€ B

this: โˆ€ (t : Set ฮฑ), (t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t) โˆง (t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t)

t: Set ฮฑ

ht: t โˆˆ A โˆช B


h.mpr.right
t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ A โˆฉ โ‹‚โ‚€ B

this: โˆ€ (t : Set ฮฑ), (t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t) โˆง (t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t)

t: Set ฮฑ

ht: t โˆˆ A โˆช B

hB: t โˆˆ B


h.mpr.right
ฮฑ: Type u_1

A, B: Set (Set ฮฑ)

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ โ‹‚โ‚€ A โˆฉ โ‹‚โ‚€ B

this: โˆ€ (t : Set ฮฑ), (t โˆˆ A โ†’ x โˆˆ t) โˆง (t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t)

t: Set ฮฑ

ht: t โˆˆ A โˆช B


h.mpr.right
t โˆˆ B โ†’ x โˆˆ t

Goals accomplished! ๐Ÿ™
/-- ### Exercise 4.24a Show that is `๐“` is nonempty, then `๐’ซ (โ‹‚ ๐“) = โ‹‚ { ๐’ซ X | X โˆˆ ๐“ }`. -/ theorem
exercise_4_24a: โˆ€ {ฮฑ : Type u_1} {๐“ : Set (Set ฮฑ)}, ๐’ซโ‹‚โ‚€ ๐“ = โ‹‚โ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}
exercise_4_24a
{
๐“: Set (Set ฮฑ)
๐“
:
Set: Type ?u.25861 โ†’ Type ?u.25861
Set
(
Set: Type ?u.25862 โ†’ Type ?u.25862
Set
ฮฑ: ?m.25858
ฮฑ
)} : ๐’ซ (โ‹‚โ‚€
๐“: Set (Set ฮฑ)
๐“
) = โ‹‚โ‚€ { ๐’ซ
X: ?m.25889
X
|
X: ?m.25889
X
โˆˆ
๐“: Set (Set ฮฑ)
๐“
} :=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)


๐’ซโ‹‚โ‚€ ๐“ = โ‹‚โ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)


๐’ซโ‹‚โ‚€ ๐“ = โ‹‚โ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)


{x | โˆ€ (t : ฮฑ), t โˆˆ x โ†’ โˆ€ (X : Set ฮฑ), X โˆˆ ๐“ โ†’ t โˆˆ X} = {x | โˆ€ (X : Set ฮฑ), X โˆˆ ๐“ โ†’ โˆ€ (t : ฮฑ), t โˆˆ x โ†’ t โˆˆ X}
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

xโœ: Set ฮฑ


h
xโœ โˆˆ {x | โˆ€ (t : ฮฑ), t โˆˆ x โ†’ โˆ€ (X : Set ฮฑ), X โˆˆ ๐“ โ†’ t โˆˆ X} โ†” xโœ โˆˆ {x | โˆ€ (X : Set ฮฑ), X โˆˆ ๐“ โ†’ โˆ€ (t : ฮฑ), t โˆˆ x โ†’ t โˆˆ X}
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)


{x | โˆ€ (t : ฮฑ), t โˆˆ x โ†’ โˆ€ (X : Set ฮฑ), X โˆˆ ๐“ โ†’ t โˆˆ X} = {x | โˆ€ (X : Set ฮฑ), X โˆˆ ๐“ โ†’ โˆ€ (t : ฮฑ), t โˆˆ x โ†’ t โˆˆ X}
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

xโœ: Set ฮฑ


h
xโœ โˆˆ {x | โˆ€ (t : ฮฑ), t โˆˆ x โ†’ โˆ€ (X : Set ฮฑ), X โˆˆ ๐“ โ†’ t โˆˆ X} โ†” xโœ โˆˆ {x | โˆ€ (X : Set ฮฑ), X โˆˆ ๐“ โ†’ โˆ€ (t : ฮฑ), t โˆˆ x โ†’ t โˆˆ X}
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

xโœ: Set ฮฑ


h
(โˆ€ (t : ฮฑ), t โˆˆ xโœ โ†’ โˆ€ (X : Set ฮฑ), X โˆˆ ๐“ โ†’ t โˆˆ X) โ†” xโœ โˆˆ {x | โˆ€ (X : Set ฮฑ), X โˆˆ ๐“ โ†’ โˆ€ (t : ฮฑ), t โˆˆ x โ†’ t โˆˆ X}
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

xโœ: Set ฮฑ


h
xโœ โˆˆ {x | โˆ€ (t : ฮฑ), t โˆˆ x โ†’ โˆ€ (X : Set ฮฑ), X โˆˆ ๐“ โ†’ t โˆˆ X} โ†” xโœ โˆˆ {x | โˆ€ (X : Set ฮฑ), X โˆˆ ๐“ โ†’ โˆ€ (t : ฮฑ), t โˆˆ x โ†’ t โˆˆ X}
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

xโœ: Set ฮฑ


h
(โˆ€ (t : ฮฑ), t โˆˆ xโœ โ†’ โˆ€ (X : Set ฮฑ), X โˆˆ ๐“ โ†’ t โˆˆ X) โ†” โˆ€ (X : Set ฮฑ), X โˆˆ ๐“ โ†’ โˆ€ (t : ฮฑ), t โˆˆ xโœ โ†’ t โˆˆ X
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

xโœ: Set ฮฑ


h
xโœ โˆˆ {x | โˆ€ (t : ฮฑ), t โˆˆ x โ†’ โˆ€ (X : Set ฮฑ), X โˆˆ ๐“ โ†’ t โˆˆ X} โ†” xโœ โˆˆ {x | โˆ€ (X : Set ฮฑ), X โˆˆ ๐“ โ†’ โˆ€ (t : ฮฑ), t โˆˆ x โ†’ t โˆˆ X}
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

xโœ: Set ฮฑ


h
(โˆ€ (v : Set ฮฑ), v โˆˆ ๐“ โ†’ โˆ€ (u : ฮฑ), u โˆˆ xโœ โ†’ u โˆˆ v) โ†” โˆ€ (X : Set ฮฑ), X โˆˆ ๐“ โ†’ โˆ€ (t : ฮฑ), t โˆˆ xโœ โ†’ t โˆˆ X

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)


๐’ซโ‹‚โ‚€ ๐“ = โ‹‚โ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)


{x | โˆ€ (X : Set ฮฑ), X โˆˆ ๐“ โ†’ x โˆˆ ๐’ซ X} = {x | โˆ€ (t : Set (Set ฮฑ)), t โˆˆ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โ†’ x โˆˆ t}

Goals accomplished! ๐Ÿ™

Goals accomplished! ๐Ÿ™
/-- ### Exercise 4.24b Show that ``` โ‹ƒ {๐’ซ X | X โˆˆ ๐“} โІ ๐’ซ โ‹ƒ ๐“. ``` Under what conditions does equality hold? -/ theorem
exercise_4_24b: โˆ€ {ฮฑ : Type u_1} {๐“ : Set (Set ฮฑ)}, โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆง (โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โ†” โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“)
exercise_4_24b
{
๐“: Set (Set ฮฑ)
๐“
:
Set: Type ?u.33730 โ†’ Type ?u.33730
Set
(
Set: Type ?u.33731 โ†’ Type ?u.33731
Set
ฮฑ: ?m.33727
ฮฑ
)} : (โ‹ƒโ‚€ { ๐’ซ
X: ?m.33750
X
|
X: ?m.33750
X
โˆˆ
๐“: Set (Set ฮฑ)
๐“
} โІ ๐’ซ โ‹ƒโ‚€
๐“: Set (Set ฮฑ)
๐“
) โˆง ((โ‹ƒโ‚€ { ๐’ซ
X: ?m.33837
X
|
X: ?m.33837
X
โˆˆ
๐“: Set (Set ฮฑ)
๐“
} = ๐’ซ โ‹ƒโ‚€
๐“: Set (Set ฮฑ)
๐“
) โ†” (โ‹ƒโ‚€
๐“: Set (Set ฮฑ)
๐“
โˆˆ
๐“: Set (Set ฮฑ)
๐“
)) :=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)


โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆง (โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โ†” โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“)
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)


โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆง (โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โ†” โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“)

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)


โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)


โˆ€ (a : Set ฮฑ), a โˆˆ ๐“ โ†’ a โІ โ‹ƒโ‚€ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)


โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)


โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆง (โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โ†” โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“)
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“


โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โ†” โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)


โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆง (โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โ†” โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“)
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“


mp
โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โ†’ โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“


mpr
โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“ โ†’ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)


โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆง (โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โ†” โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“)
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“


mp
โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โ†’ โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“


mp
โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โ†’ โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“


mpr
โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“ โ†’ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“


mp
โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“


mp
โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โ†’ โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rSโœ: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rS: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}


mp
โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“


mp
โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โ†’ โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rSโœ: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rS: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}


mp
โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“


mp
โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โ†’ โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rSโœ: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rS: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}


{a | โˆƒ t, t โˆˆ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โˆง a โˆˆ t}
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rSโœ: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rS: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}


mp
โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rSโœ: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rS: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}


โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rSโœ: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rS: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}


โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rSโœ: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rS: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}


{ sSup := fun s => {a | โˆƒ t, t โˆˆ s โˆง a โˆˆ t} }.1 {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rSโœ: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rS: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}


โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rSโœ: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rS: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}


{a | โˆƒ t, t โˆˆ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โˆง a โˆˆ t}
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“


mp
โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โ†’ โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rSโœ: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rS: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โˆง a โˆˆ t}

X: Set (Set ฮฑ)

x: Set ฮฑ

hx: x โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ x = X

ht: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ X


mp
โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“


mp
โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โ†’ โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rSโœ: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rS: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โˆง a โˆˆ t}

X: Set (Set ฮฑ)

x: Set ฮฑ

hx: x โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ x = X

ht: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ X


mp
โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rSโœ: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rS: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โˆง a โˆˆ t}

X: Set (Set ฮฑ)

x: Set ฮฑ

hx: x โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ x = X

ht: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ X


โ‹ƒโ‚€ ๐“ = x
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rSโœ: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rS: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โˆง a โˆˆ t}

X: Set (Set ฮฑ)

x: Set ฮฑ

hx: x โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ x = X

ht: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ X


โ‹ƒโ‚€ ๐“ = x
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rSโœ: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rS: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โˆง a โˆˆ t}

X: Set (Set ฮฑ)

x: Set ฮฑ

hx: x โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ x = X

ht: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐’ซ x


โ‹ƒโ‚€ ๐“ = x
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rSโœ: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rS: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โˆง a โˆˆ t}

X: Set (Set ฮฑ)

x: Set ฮฑ

hx: x โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ x = X

ht: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐’ซ x


โ‹ƒโ‚€ ๐“ = x
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rSโœ: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rS: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โˆง a โˆˆ t}

X: Set (Set ฮฑ)

x: Set ฮฑ

hx: x โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ x = X

ht: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐’ซ x


โ‹ƒโ‚€ ๐“ = x
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rSโœ: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rS: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โˆง a โˆˆ t}

X: Set (Set ฮฑ)

x: Set ฮฑ

hx: x โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ x = X

ht: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ X


โ‹ƒโ‚€ ๐“ = x
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rSโœ: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rS: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โˆง a โˆˆ t}

X: Set (Set ฮฑ)

x: Set ฮฑ

hx: x โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ x = X

ht: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐’ซ x

hl: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ x


โ‹ƒโ‚€ ๐“ = x
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rSโœ: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rS: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โˆง a โˆˆ t}

X: Set (Set ฮฑ)

x: Set ฮฑ

hx: x โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ x = X

ht: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ X


โ‹ƒโ‚€ ๐“ = x
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rSโœ: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rS: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โˆง a โˆˆ t}

X: Set (Set ฮฑ)

x: Set ฮฑ

hx: x โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ x = X

ht: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐’ซ x

hl: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ x

hr: x โІ โ‹ƒโ‚€ ๐“


โ‹ƒโ‚€ ๐“ = x
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rSโœ: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rS: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โˆง a โˆˆ t}

X: Set (Set ฮฑ)

x: Set ฮฑ

hx: x โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ x = X

ht: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ X


โ‹ƒโ‚€ ๐“ = x

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“


mp
โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โ†’ โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rSโœ: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rS: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โˆง a โˆˆ t}

X: Set (Set ฮฑ)

x: Set ฮฑ

hx: x โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ x = X

ht: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ X

this: โ‹ƒโ‚€ ๐“ = x


mp
โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rSโœ: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rS: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โˆง a โˆˆ t}

X: Set (Set ฮฑ)

x: Set ฮฑ

hx: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ = X

ht: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ X

this: โ‹ƒโ‚€ ๐“ = x


mp
โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rSโœ: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rS: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โˆง a โˆˆ t}

X: Set (Set ฮฑ)

x: Set ฮฑ

hx: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ = X

ht: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ X

this: โ‹ƒโ‚€ ๐“ = x


mp
โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rSโœ: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

rS: ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ {a | โˆƒ t, t โˆˆ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โˆง a โˆˆ t}

X: Set (Set ฮฑ)

x: Set ฮฑ

hx: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ = X

ht: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ X

this: โ‹ƒโ‚€ ๐“ = x


mp
โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“


mp
โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โ†’ โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)


โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆง (โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โ†” โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“)
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“


mpr
โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“ โ†’ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“


mpr
โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“ โ†’ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“


mpr
โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“


mpr
โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“ โ†’ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“


mpr
๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โІ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“


mpr
โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“ โ†’ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“


mpr
โˆ€ (x : Set ฮฑ), x โˆˆ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“ โ†’ x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“


mpr
โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“ โ†’ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“

x: Set ฮฑ

hx: x โˆˆ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“


mpr
x โˆˆ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“


mpr
โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“ โ†’ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“

x: Set ฮฑ

hx: x โˆˆ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“


mpr
x โˆˆ { sSup := fun s => {a | โˆƒ t, t โˆˆ s โˆง a โˆˆ t} }.1 {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x}
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“


mpr
โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“ โ†’ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

hA: โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“

x: Set ฮฑ

hx: x โˆˆ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“


mpr
โˆƒ a, a โˆˆ ๐“ โˆง x โІ a
ฮฑ: Type u_1

๐“: Set (Set ฮฑ)

hS: โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} โІ ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“


mpr
โ‹ƒโ‚€ ๐“ โˆˆ ๐“ โ†’ โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“ โˆง ๐’ซ X = x} = ๐’ซโ‹ƒโ‚€ ๐“

Goals accomplished! ๐Ÿ™
/-- ### Exercise 4.25 Is `A โˆช (โ‹ƒ ๐“‘)` always the same as `โ‹ƒ { A โˆช X | X โˆˆ ๐“‘ }`? If not, then under what conditions does equality hold? -/ theorem
exercise_4_25: โˆ€ {ฮฑ : Type u_1} {A : Set ฮฑ} (๐“‘ : Set (Set ฮฑ)), A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x} โ†” A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘
exercise_4_25
{
A: Set ฮฑ
A
:
Set: Type ?u.38862 โ†’ Type ?u.38862
Set
ฮฑ: ?m.38859
ฮฑ
} (
๐“‘: Set (Set ฮฑ)
๐“‘
:
Set: Type ?u.38865 โ†’ Type ?u.38865
Set
(
Set: Type ?u.38866 โ†’ Type ?u.38866
Set
ฮฑ: ?m.38859
ฮฑ
)) : (
A: Set ฮฑ
A
โˆช (โ‹ƒโ‚€
๐“‘: Set (Set ฮฑ)
๐“‘
) = โ‹ƒโ‚€ {
A: Set ฮฑ
A
โˆช
X: ?m.38899
X
|
X: ?m.38899
X
โˆˆ
๐“‘: Set (Set ฮฑ)
๐“‘
}) โ†” (
A: Set ฮฑ
A
=
โˆ…: ?m.38962
โˆ…
โˆจ
Set.Nonempty: {ฮฑ : Type ?u.39037} โ†’ Set ฮฑ โ†’ Prop
Set.Nonempty
๐“‘: Set (Set ฮฑ)
๐“‘
) :=

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)


A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x} โ†” A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)


mp
A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x} โ†’ A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)


mpr
A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘ โ†’ A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)


A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x} โ†” A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)


mp
A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x} โ†’ A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)


mp
A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x} โ†’ A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)


mpr
A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘ โ†’ A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}


mp
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)


mp
A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x} โ†’ A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘


pos
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}

h๐“‘: ยฌSet.Nonempty ๐“‘


neg
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)


mp
A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x} โ†’ A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘


pos
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘


pos
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}

h๐“‘: ยฌSet.Nonempty ๐“‘


neg

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)


mp
A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x} โ†’ A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}

h๐“‘: ยฌSet.Nonempty ๐“‘


neg
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}

h๐“‘: ยฌSet.Nonempty ๐“‘


neg
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}

h๐“‘: ยฌSet.Nonempty ๐“‘

this: ๐“‘ = โˆ…


neg
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}

h๐“‘: ยฌSet.Nonempty ๐“‘


neg
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}

h๐“‘: ยฌSet.Nonempty ๐“‘

this: ๐“‘ = โˆ…


neg
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A โˆช โ‹ƒโ‚€ โˆ… = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ โˆ… โˆง A โˆช X = x}

h๐“‘: ยฌSet.Nonempty ๐“‘

this: ๐“‘ = โˆ…


neg
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A โˆช โ‹ƒโ‚€ โˆ… = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ โˆ… โˆง A โˆช X = x}

h๐“‘: ยฌSet.Nonempty ๐“‘

this: ๐“‘ = โˆ…


neg
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A โˆช โ‹ƒโ‚€ โˆ… = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ โˆ… โˆง A โˆช X = x}

h๐“‘: ยฌSet.Nonempty ๐“‘

this: ๐“‘ = โˆ…


neg
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}

h๐“‘: ยฌSet.Nonempty ๐“‘


neg
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h๐“‘: ยฌSet.Nonempty ๐“‘

this: ๐“‘ = โˆ…

h: A = โˆ…


neg
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}

h๐“‘: ยฌSet.Nonempty ๐“‘


neg

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)


A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x} โ†” A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)


mpr
A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘ โ†’ A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)


mpr
A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘ โ†’ A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘


mpr
A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)


mpr
A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘ โ†’ A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘


mpr.left
A = โˆ… โ†’ A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘


mpr.right
Set.Nonempty ๐“‘ โ†’ A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)


mpr
A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘ โ†’ A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘


mpr.left
A = โˆ… โ†’ A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘


mpr.left
A = โˆ… โ†’ A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘


mpr.right
Set.Nonempty ๐“‘ โ†’ A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

hA: A = โˆ…


mpr.left
A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘


mpr.left
A = โˆ… โ†’ A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

hA: A = โˆ…


mpr.left
A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

hA: A = โˆ…


mpr.left
โˆ… โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง โˆ… โˆช X = x}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

hA: A = โˆ…


mpr.left
โˆ… โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง โˆ… โˆช X = x}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘


mpr.left
A = โˆ… โ†’ A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)


mpr
A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘ โ†’ A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘


mpr.right
Set.Nonempty ๐“‘ โ†’ A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘


mpr.right
Set.Nonempty ๐“‘ โ†’ A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘


mpr.right
A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘


mpr.right
Set.Nonempty ๐“‘ โ†’ A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘


mpr.right
A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘


{x | x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b} = {x | โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ


h
x โˆˆ {x | x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b} โ†” x โˆˆ {x | โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘


{x | x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b} = {x | โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ


h
x โˆˆ {x | x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b} โ†” x โˆˆ {x | โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ


h
(x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b) โ†” x โˆˆ {x | โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ


h
x โˆˆ {x | x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b} โ†” x โˆˆ {x | โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ


h
(x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b) โ†” โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ


h
(x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b) โ†” โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘


{x | x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b} = {x | โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ


h.mp
(x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b) โ†’ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ


h.mpr
(โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)) โ†’ x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘


{x | x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b} = {x | โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ


h.mp
(x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b) โ†’ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ


h.mp
(x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b) โ†’ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ


h.mpr
(โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)) โ†’ x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b


h.mp
โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ


h.mp
(x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b) โ†’ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b


h.mp.left
x โˆˆ A โ†’ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b


h.mp.right
(โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b) โ†’ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ


h.mp
(x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b) โ†’ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b


h.mp.left
x โˆˆ A โ†’ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b


h.mp.left
x โˆˆ A โ†’ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b


h.mp.right
(โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b) โ†’ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b

hA: x โˆˆ A


h.mp.left
โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b


h.mp.left
x โˆˆ A โ†’ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b

hA: x โˆˆ A

b: Set ฮฑ

hb: b โˆˆ ๐“‘


h.mp.left
โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b


h.mp.left
x โˆˆ A โ†’ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ


h.mp
(x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b) โ†’ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b


h.mp.right
(โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b) โ†’ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b


h.mp.right
(โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b) โ†’ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b

b: Set ฮฑ

hb: b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b


h.mp.right
โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ

hx: x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b


h.mp.right
(โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b) โ†’ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘


{x | x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b} = {x | โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)}
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ


h.mpr
(โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)) โ†’ x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ


h.mpr
(โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)) โ†’ x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ

b: Set ฮฑ

hb: b โˆˆ ๐“‘

hx: x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b


h.mpr
x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ


h.mpr
(โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)) โ†’ x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ

b: Set ฮฑ

hb: b โˆˆ ๐“‘

hx: x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b


h.mpr.left
x โˆˆ A โ†’ x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ

b: Set ฮฑ

hb: b โˆˆ ๐“‘

hx: x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b


h.mpr.right
x โˆˆ b โ†’ x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ


h.mpr
(โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)) โ†’ x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ

b: Set ฮฑ

hb: b โˆˆ ๐“‘

hx: x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b


h.mpr.left
x โˆˆ A โ†’ x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ

b: Set ฮฑ

hb: b โˆˆ ๐“‘

hx: x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b


h.mpr.left
x โˆˆ A โ†’ x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ

b: Set ฮฑ

hb: b โˆˆ ๐“‘

hx: x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b


h.mpr.right
x โˆˆ b โ†’ x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ


h.mpr
(โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง (x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b)) โ†’ x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ

b: Set ฮฑ

hb: b โˆˆ ๐“‘

hx: x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b


h.mpr.right
x โˆˆ b โ†’ x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ

b: Set ฮฑ

hb: b โˆˆ ๐“‘

hx: x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b


h.mpr.right
x โˆˆ b โ†’ x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

hโœ: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ

b: Set ฮฑ

hb: b โˆˆ ๐“‘

hx: x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b

h: x โˆˆ b


h.mpr.right
x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘

x: ฮฑ

b: Set ฮฑ

hb: b โˆˆ ๐“‘

hx: x โˆˆ A โˆจ x โˆˆ b


h.mpr.right
x โˆˆ b โ†’ x โˆˆ A โˆจ โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ b

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘


mpr.right
A โˆช โ‹ƒโ‚€ ๐“‘ = โ‹ƒโ‚€ {x | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = x}

Goals accomplished! ๐Ÿ™
ฮฑ: Type u_1

A: Set ฮฑ

๐“‘: Set (Set ฮฑ)

h: A = โˆ… โˆจ Set.Nonempty ๐“‘

h๐“‘: Set.Nonempty ๐“‘


{x | โˆƒ b, b โˆˆ ๐“‘ โˆง x โˆˆ A โˆช b} = {x | โˆƒ t, t โˆˆ {y | โˆƒ X, X โˆˆ ๐“‘ โˆง A โˆช X = y} โˆง x โˆˆ t}

Goals accomplished! ๐Ÿ™

Goals accomplished! ๐Ÿ™
end Enderton.Set.Chapter_2